Corrigé des exercices - Dunod

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Or +∞ ⋃
k=1
B k = +∞ ⋃
k=1
A k .
Et P(B k ) = P(A 1 ∪ · · · ∪ A k ) = 1 − P(A 1 ∩ · · · ∩ A k ).
Comme les événements A 1 , · · · ,A k sont mutuellement indépendants, les événements
∏
A 1 , · · · ,A k le sont aussi et donc P(A 1 ∩ · · · ∩ A k ) = k P(A i ).
+∞
⋃
Finalement p(
2.
1 =⇒ 2 .
2 =⇒ 1 .
2 ⇐⇒ 3 .
n=1
A n ) = 1 − lim ( ∏ n
P(A i )).
n→+∞
i=1
D’après la question précédente, si P( +∞ ⋃
(
∑
Or n n∏
)
ln(P(A i )) = ln P(A i ) .
i=1
i=1
n∑
Ainsi lim ln(P(A i )) = −∞.
n→+∞ i=1
Donc la série +∞ ∑
ln(P(A n )) diverge.
n=1
n=1
i=1
A n ) = 1, alors lim
Inversement si la série +∞ ∑
ln(P(A n )) diverge, alors
(ln(P(A n )) 0).
Donc P( +∞ ⋃
A n ) = 1.
n=1
Si la suite ( P(A n ) ) n∈N ∗
+∞∑
n=1
n=1
ln(P(A n )) divergent grossièrement.
n→+∞
i=1
lim
n→+∞
i=1
n∏
P(A i ) = 0.
n∑
ln(P(A i )) = −∞
ne converge pas vers 0, alors les séries +∞ ∑
P(A n ) et
Si la suite ( P(A n ) ) converge vers 0, alors −ln(P(A
n∈N ∗ n )) ∼ P(A n).
n→+∞
Et comme P(A n ) 0, les séries +∞ ∑
P(A n ) et +∞ ∑
ln(P(A n )) sont de même nature.
n=1
3. a) Si P(A n ) = a, alors la série +∞ ∑
P(A n ) diverge.
n=1
D’après la question précdente, P( +∞ ⋃
b) Si P(A n ) = 1
(n+1) 2 , alors n ∏
Donc P( +∞ ⋃
n=1
Exercice 29.22
A n ) = 1 2 .
i=1
n=1
A n ) = 1.
P(A i ) = n ∏
i=1
n=1
i(i+2)
(i+1) 2 = n+2
2(n+1) .
1. Notons A k l’événement «au kème double jet ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et
B k l’événement «la somme de 5 apparaît au k ième double jet».
n=1