Corrigé des exercices - Dunod

337
Comme pour (x,y) ≠ (0,0), ∂f
∂y (x,y) =
2xy
x 2 + y 2 ex ln(x2 +y 2) , ∂f
∂y
On a par exemple ∂f
∂y (x,x) = ex ln(2x2) qui tend vers 1 quand x tend vers 0.
n’est pas continue en (0,0).
4. La fonction f est continue et possède des dérivées partielles par rapport à x et y continues
sur chacun des ouverts Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , |x| < y} et Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , |x| > y}
(ce sont des ouverts, car images réciproques d’intervalles ouverts par la fonction continue
(x,y) ↦−→ |x| − y).
Étudions la continuité en un point (x 0 , |x 0 |). Comme f(x,y) = x 2 ou y 2 , on a, pour tout
(x,y) ∈ R 2 ,
|f(x,y) − f(x 0 , |x 0 |)| |x 2 − x 2 0| + |y 2 − x 2 0|,
ce qui montre la continuité en (x 0 , |x 0 |) et donc sur R 2 .
Si x 0 ≠ 0, les applications partielles x ↦−→ f(x, |x 0 |) et y ↦−→ f(x 0 ,y) ne sont pas dérivables
en x 0 et |x 0 | respectivement (le nombre dérivé est nul d’un coté et égal à ±x 0 de l’autre).
Par contre, f possède des dérivées partielles en (0,0) : ∂f
∂x
les dérivées partielles sont continues en (0,0). Si |x| ≠ y, on a ∂f
lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂f
(x,y) = 0. On a un résultat analogue pour
∂x ∂y .
∂f
(0,0) = (0,0) = 0. De plus,
∂y
(x,y) = 2x ou 0 et donc
∂x
Exercice 28.6
√ uv
1. De l’inégalité
u + v 1 2 valable pour u et v positifs (elle équivaut à (√ u − √ v) 2 0),
on déduit que, pour tout (x,y) ≠ (0,0),
√
x6 y
|f(x,y)| = |x|
4
x 6 + y 4 1 2 |x| 1 2 ‖(x,y)‖
et donc f est continue en (0,0).
2. Les dérivées partielles d’ordre 1 en 0 sont nulles car les fonctions partielles sont nulles.
3. Pour tout t ≠ 0, on a
f(t 2 ,t 3 )
‖(t 2 ,t 3 )‖ = t14
2t 12 · 1
√
t4 + t = 1
6 2 √ 1 + t , 2
expression qui tend vers 1 quand t tend vers 0. On en déduit, puisque lim
2 t→0 t2 = lim t 3 = 0,
t→0
que f(x,y) ne tend pas vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0).
‖(x,y)‖
Supposons que f possède un développement limité d’ordre 1 en (0,0). Il s’écrit nécessairement
f(x,y) = f(0,0) + x ∂f (0,0) + y∂f (0,0) + ‖(x,y)‖ε(x,y) = ‖(x,y)‖ε(x,y),
∂x ∂y
où la fonction ε a pour limite 0 en (0,0). Comme pour (x,y) ≠ (0,0), ε(x,y) = f(x,y)
‖(x,y)‖ ,
c’est impossible. La fonction f ne possède pas de développement limité d’ordre 1 en (0,0).