Corrigé des exercices - Dunod

4
P Q 9 10 11 12 13 14 15 16
V V F F F F F F F F
V F V V V V F F F F
F V V V F F V V F F
F F V F V F V F V F
A B
2. Les réponses aux deux questions qui suivent sont données ci-dessous colonne par colonne.
a) À la colonne 1, on doit faire figurer une propriété qui est vraie dans tous les cas. Une
telle propriété est une « Tautologie ». Comme tautologie, on peut choisir la propriété «
P ∨ P »dont le caractère tautologique exprime le principe du « tiers exclus », qui stipule
que, une proposition P étant donnée, l’une ou l’autre des propriétés P et P est vraie, et il
n’y a pas d’autre possibilité.
Le sous ensemble associé est l’ensemble E. Il est toujours vrai qu’un élément de E appartient
à E.
b) À la colonne 2, on fait figurer la proposition « P ∨ Q »qui est vraie lorsqu’au moins une
des deux propositions P et Q est vraie.
Le sous ensemble associé est A ∪ B.
c) La propriété correspondant à la colonne 3 est vraie lorsque P est vraie ou Q fausse. On
fera donc figurer la propriété P ∨Q, c’est à dire Q ∨P, ou encore Q ⇒ P. Le sous ensemble
associé est A ∪ B. Remarquons que,lorsque ce sous ensemble est égal à E, c’est que B ⊂ A,
c’est à dire que la propriété x ∈ B implique la propriété x ∈ A
d) À la colonne 4, on reconnaît la propriété P, associée à l’ensemble A.
e) À la colonne 5, on a la propriété P ∨ Q, c’est à dire P ⇒ Q, associée au sous ensemble
A ∪ B (voir colonne 3).
f) À la colonne 6, on reconnaît la propriété Q, associée à l’ensemble B.
g) À la colonne 7, on reconnaît la conjonction des colonnes 3 et 5. On fera donc figurer la
propriété (P ∨Q) ∧(P ∨Q), que l’on résume sous la forme P ⇔ Q (propriétés équivalentes,
qui correspondent à des sous ensembles égaux)
h) À la colonne 8, on reconnaît la propriété « P ∧ Q »qui est vraie lorsque les deux propositions
P et Q sont vraies.
Le sous ensemble associé est A ∩ B.
i) Colonne 9, négation de la colonne 8. Propriété P ∧ Q = P ∨ Q.
Sous ensemble A ∪ B
j) Colonne 10, négation de la colonne 7. Propriété P ∨∨Q (disjonction exclusive).
Sous ensemble (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
k) Colonne 11, négation de la colonne 6. Propriété Q.
Sous ensembleB.
l) Colonne 12, négation de la colonne 5. Propriété P ⇒ Q, c’est à dire P ∧ Q.
Le sous ensemble associé est A ∩ B. Quand ce sous-ensemble est non vide, la propriété »
∀x ∈ E,P(x) ⇒ Q(x) »est fausse.
m) Colonne 13, négation de la colonne 4. Propriété P.
Sous ensembleA.