Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 11.11
1. Tout d’abord, il est clair que si P ∈ K n [X] alors P(X + 1) − P(X) ∈ K n [X].
Soient P,Q ∈ K n [X] et λ,µ deux scalaires, on a
f est linéaire.
∆(λP + µQ) = (λP + µQ)(X + 1) − (λP + µQ)(X)
= λP(X + 1) + µQ(X + 1) − λP(X) − µQ(X)
= λ(P(X + 1) − P(X)) + µ(Q(X + 1) − Q(X))
= λ∆(P) + µ∆(Q)
2. a) Il est clair que deg(P k ) = k. La famille (P 0 ,...,P n ) est donc une famille libre de n+1
vecteurs de K n [X]. Comme dim(K n [X]) = n + 1, cette famille est une base de K n [X].
b) Soit k ∈ [1,n], on a
∆(P k ) = P k (X + 1) − P k (X)
=
(X + 1)X(X − 1) · · · (X − k + 2) X(X − 1) · · · (X − k + 1)
−
k!
k!
=
X(X − 1) · · · (X − k + 2)
(X + 1 − (X − k + 1))
k!
=
X(X − 1) · · · (X − k + 2)
(k − 1)!
= P k−1
et ∆(P 0 ) = ∆(1) = 1 − 1 = 0.
c) Soit P ∈ K n [X] de coordonnées (a 0 ,a 1 ,...,a n ) dans la base (P 0 ,P 1 ,...,P n ). Les coordonnées
de ∆(P) sont (a 1 ,a 2 ,...,a n ,0). On en déduit que P ∈ Ker(∆) si et seulement si
a 1 = a 2 = · · · = a n = 0. On a donc Ker(∆) = Vect(P 0 ) = Vect(1), ensemble des polynômes
constants de K n [X].
De même on sait que Im(∆) = Vect(∆(P 0 ),...,∆(P n )) = Vect(0,P 0 ,...,P n−1 ) = K n−1 [X].
3. a) Soit P ∈ K n [X], d’après ce qui précède il existe des scalaires a 0 ,a 1 ,...,a n tels que
n∑
P = a k P k
k=0
En appliquant ∆ i à cette égalité, avec i ∈ [0,n], on trouve
n∑
∆ i (P) = a k ∆ i (P k )
k=0
Or d’après ce qui précède, on sait que ∆ i (P k ) = P k−i pour k i et ∆ i (P k ) = 0 pour k < i.
On en déduit que
n∑
∆ i (P) = a k P k−i
=
k=i
∑n−i
a k+i P k
k=0