Corrigé des exercices - Dunod

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b) Soit a un élément de E. Classons les surjections de E sur F suivant que la restriction
à E \ {a} est encore une surjection sur F, (il y a bien sûr S p−1,q cas) ou ne l’est
plus (c’est alors une surjection de E \ {a} sur F \ {b}, où b désigne l’image de a ; il y a
donc S p−1,q−1 cas). Comme il y a q façons de choisir a, on aboutit à la relation demandée
S p,q = qS p−1,q + qS p−1,q−1
c) Le tableau demandé se présente comme suit :
1 2 3 4 5
1 1 0
2 1 2 0
3 1 6 6 6
4 4 14 36 36 0
2. a) Toute application de E dans F est une surjection de E sur l’ensemble des images de
ses éléments. Soit i le cardinal de cet ensemble image. Il y a alors ( q
i)
façons de le choisir, et
S p,i façons de réaliser cette surjection. Au total, comme il y a q p applications de E dans F
et que i varie de 1 à q, on obtient la formule annoncée : q p = ∑ q
( q
i=1 i)
Sp,i
b) L’application de la formule d’inversion de Pascal (voir exercice 11) permet de conclure.
Mais on peut aussi utiliser la formule de Poincaré, en notant par exemple F = {b 1 ,b 2 ,...,b q },
et M i (E,F) l’ensemble des applications de E dans F telles que b i n’a pas d’antécédent.
c) Pour le programme en Pascal demandé, il suffit d’utiliser la formule de récurrence obtenue
plus haut.
Chapitre 9
Exercice 9.1
Notons A cet ensemble.
– Par définition A est bien un sous-ensemble de R R .
– A est non vide puisque la fonction nulle est solution de cette équation différentielle.
– Soient f 1 ,f 2 deux fonctions de A et λ,µ deux réels. Par hypothèse on a
f 1 ′′ + 2f 1 ′ − f 1 = 0 (1)
f 2 ′′ + 2f 2 ′ − f 2 = 0 (2)
En effectuant λ(1) + µ(2) on trouve λ(f ′′
1 + 2f ′ 1 − f 1 ) + µ(f ′′
2 + 2f ′ 2 − f 2 ) = 0, soit encore
et donc λf 1 + µf 2 appartient à A.
A est donc un sous-espace vectoriel de R R .
Exercice 9.2
(λf 1 + µf 2 ) ′′ + 2(λf 1 + µf 2 ) ′ − (λf 1 + µf 2 ) = 0
Remarquons d’abord que tous les ensembles sont bien des sous-ensembles de R R .
1. A est non vide puisque la fonction nulle vérifie l’équation qui définit A.