Corrigé des exercices - Dunod

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On peut aussi, pour déterminer ce développement limité, appliquer la formule de Taylor-
Young. On calcule les dérivées successives en dérivant la formule donnant (f −1 ) ′ . Les calculs
deviennent vite compliqués.
Exercice 24.20
1. On a, par définition,
f(x) − x
lim
x→0 x p = −a < 0.
D’après les propriétés des limites, il existe c ∈ ]0,α] tel que, pour tout x ∈ ]0,c],
f(x) − x
x p < 0 et donc f(x) < x.
Comme f([0,α]) ⊂ [0,α], on a, pour tout x ∈ ]0,c], 0 f(x) < c. Par ailleurs, f(0) = 0
(cela résulte du développement limité), donc f([0,c]) ⊂ [0,c].
L’intervalle [0,c] est stable par f. Si on prend u 0 ∈ [0,c], tous les termes de la suite sont
dans cet intervalle. Comme f(x) x, pour tout x ∈ [0,c], la suite est décroissante. Comme
elle est minorée par 0, elle converge. Puisque f est continue, la limite est un point fixe de f
de l’intervalle [0,c]. Pour tout x ∈ ]0,c], on a f(x) < x, donc la limite est 0.
2. a) Comme u n tend vers 0, on peut utiliser le développement limité de f en 0. On obtient
x n = u 1−p
n+1 − u1−p n
= u 1−p
n
Puisque p − 1 > 0, u p−1
n
x n = u 1−p
n
( (1
− au
p−1
n
n = (u n − au p n + o(u p n)) 1−p − u 1−p
n
+ o(u p−1
n ) ) )
1−p
− 1 .
= (f(u n )) 1−p − u 1−p
tend vers 0 et le développement limité de (1 + x) 1−p donne
(
1 − a(1 − p)u
p−1
n
+ o(u p−1
n ) − 1 ) = a(p − 1) + o(1).
Ceci signifie que
lim x n = a(p − 1).
n→+∞
b) Le lemme de l’escalier permet d’affirmer que lim
n→+∞
et finalement
u 1−p
n
n
u n ∼ (a(p − 1)n) 1
1−p .
= a(p−1), i. e. u1−p n ∼ a(p−1)n
3. Le développement limité de sin en 0 est sin x = x − 1 6 x3 + o(x 3 ). On a donc p = 3 et
a = 1 [
6 . L’intervalle 0, π ]
est stable par sin et sin x < x si 0 < x < π , donc on peut rendre
2
2
c = π 2 . Pour u 0 ∈
[
0, π 2
]
, la suite (u n ) n∈N converge vers 0 et
u n ∼
( n
3
) − 1
2
∼
√
3
n .