Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 18.20
1. Puisque 0 n’est pas solution, l’équation peut s’écrire x n−1 − a − b x
= 0. La fonction
f n : x ↦−→ x n−1 − a − b est continue et strictement croissante sur ]0,+∞[. Comme
x
lim f n(x) = −∞ et lim f n(x) = +∞, elle s’annule une fois sur R + en u n .
x→0 x→+∞
2. On a f n (1) = 1 − a − b.
Si a + b 1, on a f n (1) 0 et u n 1, pour tout n 2.
On en déduit que u n n u n−1
n et donc f n+1 (u n ) f n (u n ) 0, ce qui implique u n u n+1 .
La suite est croissante et majorée, elle converge.
On montre de même que si a + b 1, la suite est minorée par 1 et décroissante ; elle
converge.
Dans les deux cas, (u n ) n∈N converge vers une limite l non nulle. On en déduit que
lim
n→+∞ un n = al + b > 0. Mais u n n = e n ln un ne peut tendre vers une limite finie non nulle que
si l = 1 (sinon, nln u n tend vers ±∞).
La limite de (u n ) n∈N est 1.
3. On écrit nln u n = ln(au n + b) et ln u n = ln(au n + b)
. Comme (u n ) n∈N tend vers 1, on a
n
lnu n ∼ u n − 1. Si a + b ≠ 1, on obtient ln(au n + b) ∼ ln(a + b) et
u n − 1 ∼
ln(a + b)
.
n
Si a + b = 1, la suite (u n ) n∈N est constante égale à 1 et u n − 1 ∼ 0.
Exercice 18.21
1. On montre par récurrence que la suite (u n ) n∈N est à valeurs dans [0,1]. Elle est
décroissante et donc convergente. Sa limite l vérifie l = l(1 − l), donc l = 0.
2. On remplaçant u n+1 par son expression en fonction de u n , on obtient
3. On en déduit que lim
n→+∞
soit
1
− 1 1
= .
u n+1 u n 1 − u n
1
− 1 = 1, puis d’après le lemme de l’escalier lim
u n+1 u n n→+∞
u n ∼ 1 n .
1
nu n
= 1,
Exercice 18.22
1. La suite est strictement croissante. Si elle convergeait, sa limite l vérifierait l = l + e −l ,
ce qui est impossible : (u n ) n∈N diverge vers +∞.
2. On a, pour tout n ∈ N,
)
e un+1 − e un = e un+e−un − e un = e
(e un e−un − 1 .