Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 5.6
1. Considérons la somme S =
n∑
(x k − 1) 2 =
k=1
n∑
(x 2 k − 2x k + 1) =
k=1
n∑ n∑
x 2 k − 2 x k +
k=1
k=1
n∑
1.
Compte tenu des hypothèses, on obtient alors S = n −2n −n = 0. Comme S est une somme
de carrés de réels, tous ses termes sont positifs, et donc nuls puisque leur somme est égale à
0. On en conclut que, pour tout entier k compris entre 1 et n, x k = 1.
Exercice 5.7
1. A = √ 2 − 1 + 2 − √ 2 = 1 (ne pas oublier que, pour tout réel x : √ x 2 = |x|.
2. B = a − 2 √ 6 + 7 + 2 √ √
6 + 2 (7 − 2 √ 6)(7 + 2 √ 6) = 14 + 2 √ 25 = 24
3. On trouve 4.
4. En réduisant au même dénominateur :
√ √ √ √
18 + 12 + 3 3 − 3 2
D =
( √ 3 − √ 2)( √ 3 + √ 2)
= 3√ 2 + 2 √ 3 + 3 √ 3 − 3 √ 2
1
= 5 √ 3.
k=1
Exercice 5.8
1.
√
E = x + 2 √ √
x − 1 + x − 2 √ x − 1
√
= x − 1 + 2 √ x − 1 + 1 +
√
= (1 + √ x − 1) 2 +
√
x − 1 − 2 √ x − 1 + 1
√
(1 − √ x − 1) 2 = |1 + √ x − 1| + |1 − √ x − 1|
Or, 1+ √ x − 1 est positif pour tout réel x supérieur ou égal à 1, et 1− √ x − 1 est positif pour
tout réel x supérieur ou égal à 2. On en déduit que E = 2 pour x ∈ [1,2] et E = 2 √ x − 1
pour x ∈ [2,+∞[
Exercice 5.9
1. Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence. En opérant de la sorte,
et en utilisant le résultat de l’exercice 2, on obtient 333
106 < 688
219 < 355
√
227
113 . Pour placer 23 , on
utilise le fait que deux nombres réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
On compare donc 227 6882
6882
avec . On calcule leur différence :
23 2192 219 2 − 227
23 = −235
23 × 219 2 . Donc
688 2
219 2 < 227
227 3552
227
. Reste à comparer avec . On calcule alors :
23 23 1132 23 − 3552
113 2 = −12
23 × 113 2 .
On en déduit que les réels donnés sont tels que : 333
106 < 688
√
227
219 < 23 < 355
113
Exercice 5.10
1. a) Pour comparer deux réels, étudions le signe de leur différence.
Soit D = a 2 + b 2 + 2 − a − b = a 2 − a + 1 + b 2 − b + 1 Posons P(x) = x 2 − x + 1 Le