Corrigé des exercices - Dunod

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On observe que si x ∈ [0,1] et n ∈ N ∗ , on a 0 1 n ln(1+x2 ) x2
n
s’applique donc à 1 n ln(1 + x2 ) et on obtient
1. L’inégalité précédente
∣ ( )
∣ (1 + x2 ) 1 1
n − 1 −
n ln(1 + ∣∣∣ x2 )
1
∣ = exp
n ln(1 + x2 ) − 1 − 1 n ln(1 + x2 )
∣
eln2 (1 + x 2 )
2n 2
e
2n 2 .
2. On déduit de la question 1 que, pour n 1,
∫ 1
(
)
∫ ∣ (1 + x 2 ) 1 1
n − 1 −
n ln(1 + 1
x2 ) dx
∣ ∣ (1 + x2 ) 1 1
n − 1 −
n ln(1 + x2 )
∣ dx
0
On calcule
∫ 1
0
∫ 1
0
0
∫ 1
0
e
2n 2 dx e
2n 2 .
ln(1 + x 2 )dx en intégrant par parties. On obtient
ln(1 + x 2 )dx = [ xln(1 + x 2 ) ] 1
0 − ∫ 1
= ln 2 − 2 + π 2 .
0
0
2x 2
∫ 1
1 + x 2 dx = ln 2 − 2
Posons b = ln 2 − 2 + π . L’inégalité devient
2 ∫ 1
∣ (1 + x 2 ) 1 b
n dx − 1 − n ∣ e
2n 2 .
∫ 1
0
(
1 − 1
1 + x 2 )
dx
La différence (1+x 2 ) 1 b
n dx −1−
0
n est donc négligeable devant 1 . Il existe donc une suite
n
(ε n ) n∈N ∗ tendant vers 0 telle que, pour tout n 1,
∫ 1
0
(1 + x 2 ) 1 n dx = 1 +
b
n + ε n
n ,
ce qui est résultat voulu avec a = 1 et b = ln 2 − 2 + π 2 .
Exercice 23.13
1. Si x ∈ [0,1], alors
c + dx ∈ [c,c + d] = [c,b] ⊂ [a,b] et c − dx ∈ [c − d,c] = [a,c] ⊂ [a,b]
donc g est définie sur [0,1] et, comme f, elle est 5 fois dérivable. On en déduit que g ′ et
donc h sont 4 fois dérivables sur [0,1]. On a, pour tous k ∈ [[0,5]] et x ∈ [0,1]
g (k) (x) = d k (f (k) (c + dx) − (−1) k f (k) (c − dx)).