Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 19.15
Soit x ∈ I et ε > 0. Par définition de la limite à droite, on peut trouver η > 0 tel que,
pour tout t ∈]x,x + η[, on ait |f(t) − ϕ(x)| ε. Soit y ∈]x,x + η[. Si t ∈]y,x + η], on a
|f(t) − ϕ(x)| ε. En faisant tendre t vers y par valeurs supérieures dans cette inégalité, on
obtient, x étant fixé,
|ϕ(y) − ϕ(x)| ε.
On a donc, pour tout y ∈ ]x,x + η[, |ϕ(y) − ϕ(x)| ε, ce qui montre la continuité à droite
de ϕ en x.
Exercice 19.16
1. Pour tout x ∈ R, la fonction t ↦−→ f(t) + xg(t) est continue donc bornée sur le segment
[0,1], donc M(x) est défini.
2. On note K = sup |g(t)|. Soit (x,y) ∈ R. Pour t ∈ [0,1], on peut écrire
t∈[0,1]
f(t) + yg(t) f(t) + xg(t) + (y − x)g(t) M(x) + K|y − x|.
On en déduit, par définition de la borne supérieure, que M(y) M(x) + K|y − x|, soit
M(y) − M(x) K|y − x|.
On obtient de la même façon, M(x) − M(y) K|x − y| et donc
|M(x) − M(y)| K|x − y|.
3. Pour tout x ∈ R, on a lim K|y − x| = 0 et donc lim M(y) = M(x), ce qui montre la
y→0 y→x
continuité en x pour tout réel x.
Exercice 19.17
1. Pour x 0, on P λ (x) < 0. Pour x > 0, l’équation P λ (x) = 0 équivaut à −x 2 + 1 x = λ.
La fonction f : x ↦−→ −x 2 + 1 est strictement décroissante et continue sur ]0,+∞[. Comme
x
lim f = +∞ et lim f = −∞, f réalise une bijection de ]0,+∞[ sur R. En particulier, pour
0 +∞
λ 0, l’équation f(x) = λ possède une seule solution que l’on note u(λ).
2. Il résulte de la question précédente que, pour tout λ 0, u(λ) = f −1 (λ). La fonction u est
la restriction de f −1 à R + . Comme f −1 est la fonction réciproque d’une fonction continue
strictement monotone, elle est continue et strictement monotone et il en est de même de u.
3. On a f(1) = 0 et donc u(0) = 1. Comme u est continue, on en déduit lim
0
u = 1. Puisque
f −1 est une bijection décroissante de R sur ]0,+∞[, on a lim
+∞
f −1 = 0 et donc lim
+∞
u = 0.
Exercice 19.18
Si x et y sont deux réels tels que f(x) = f(y), alors a|x − y| 0, donc x = y. L’application
f est injective.
En faisant y = 0, on obtient, pour tout réel x,
|f(x)| a|x| − |f(0)|.