Corrigé des exercices - Dunod

151
Exercice 16.17
1. Résulte de l’énoncé en faisant y = x.
2. On remarque que f(xy) = yf(x), pour tout x > 0.
On montre la propriété par récurrence sur n. Pour n = 0, il faut montrer que f(x) = f(x).
Si f(xy n ) = y n f(x), alors
f(xy n+1 ) = f(xy n y) = yf(xy n ) = yy n f(x) = y n+1 f(x)
et la propriété est vraie au rang n + 1, donc pour tout n.
Supposons y > 1. On a alors, pour tout x > 0, lim
n→+∞ xyn = +∞ et d’après le théorème de
composition des limites lim
n→+∞ f(xyn ) = 0 et donc lim
n→+∞ yn f(x) = 0. C’est impossible car
f(x) > 0 et y n tend vers +∞.
Si y < 1, on obtient en remplaçant x par x
( ) x
y n dans la relation précédente, f(x) = yn f
y n
et donc
f
( x
y n )
= 1
y n f(x),
ce qui revient à remplacer y par 1 . On aboutit à la même contradiction.
y
On conclut que nécessairement y = 1.
3. D’après la question 1, xf(x) est un point fixe de f pour tout x. On a donc, d’après la
question 2, xf(x) = 1, pour tout x > 0. La fonction f est donc définie par f(x) = 1 x . On
constate réciproquement que cette fonction vérifie la relation voulue.
Chapitre 17
Exercice 17.1
1. Le point fixe de x ↦−→ 1 2 x + 2 est 4. La suite (u n − 4) n∈N est géométrique de raison 1 2 .
On a, pour tout n ∈ N,
On en déduit
S n =
n∑
k=0
u n = 4 + 1
2 n (u 0 − 4) = 4 − 5
2 n .
(4 − 5 2 k )
= 4(n + 1) − 5 1 − 1
2 n+1
1 − 1 2
= 4n − 6 + 5
2 n .
2. On obtient
lim u n = 4 et
n→+∞
S n
lim
n→+∞ n = 4.
Exercice 17.2
1. On a, pour tout n ∈ N,
u n+1 − v n+1 = 3u n + 2v n − 2u n − 3v n = u n − v n .
La suite (u n − v n ) n∈N est constante.