CorrigÃ© des exercices - Dunod

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344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La fonction f est de classe C 1 sur R 2 ; les fonctions u : t ↦−→ tx et v : t ↦−→ ty sont de classe C 1 sur ]0,+∞[. On en déduit, par le théorème de dérivation <strong>des</strong> fonctions composées que la fonction ϕ : t ↦−→ f(tx,ty) est dérivable sur ]0,+∞[ et que ϕ ′ (t) = u ′ (t) ∂f ∂x (u(t),v(t)) + v′ (t) ∂f (u(t),v(t)) = x∂f (tx,ty) + y∂f ∂y ∂x ∂y (tx,ty). Mais on sait par ailleurs que, pour t > 0, ϕ(t) = t α f(x,y) et donc ϕ ′ (t) = αt α−1 f(x,y). En écrivant l’égalité de ces deux expressions de ϕ ′ (t) pour t = 1, on obtient x ∂f (x,y) + y∂f (tx,ty) = αf(x,y), ∂x ∂y égalité qui est vérifiée pour tout couple (x,y) de R 2 . 3. On fixe (x,y) et on considère ϕ : t ↦−→ f(tx,ty). La fonction ϕ est dérivable sur ]0,+∞[ et ϕ ′ (t) = x ∂f (tx,ty) + y∂f ∂x ∂y (tx,ty). Comme l’égalité (∗) est vérifiée pour tout couple de réels, on peut l’appliquer à (tx,ty). On obtient tx ∂f ∂x (tx,ty) + ty∂f (tx,ty) = αf(tx,ty) ∂y c’est-à-dire tϕ ′ (t) = αϕ(t). Ainsi ϕ vérifie l’équation différentielle ∀t > 0 ϕ(t) = α t ϕ(t). Une primitive de t ↦−→ α étant t ↦−→ α lnt, on sait qu’il existe C ∈ R tel que, pour tout t t > 0, ϕ(t) = Ce α ln t = Ct α . Comme C = ϕ(1) = f(x,y), on obtient, pour tout t > 0, f(tx,ty) = ϕ(t) = Ct α = f(x,y)t α et la fonction f est positivement homogène de degré α. Chapitre 29 Exercice 29.1 1. T ({{0,1}, {3,4}}) = {∅, {0,1}, {3,4}, {2,5}, {0,1,2,5}, {0,1,3,4}, {2,3,4,5},Ω}. 2. T ({{0}, {1}, {2}, {3}, {4}}) = P(Ω). 3. T ({{1,2,3}, {3,4}, {4,5}}) = { ∅, {0}, {3}, {4}, {5}, {0,3}, {0,4}, {0,5}, {1,2}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {0,1,2}, {0,3,4}, {0,3,5}, {0,4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {3,4,5}, {0,1,2,3}, {0,1,2,4}, {0,1,2,5}, {0,3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,4,5}, {1,2,3,5}, {0,1,2,3,4}, {0,1,2,4,5}, {0,1,2,3,5}, {1,2,3,4,5},Ω }
345 Exercice 29.2 1. 2. T ({{1,2}, {2,4}}) = { ∅, {1}, {2}, {4}, {1,2}, {1,4}, {2,4}, {1,2,4}, N\{1,2,4}, N\{2,4}, N\{1,4}, N\{1,2}, N\{4}, N\{2}, N\{1}, N } T ({{1,2}, {3,4}, {1,2,3,4}}) = {∅, {1,2}, {3,4}, {1,2,3,4}, N\{1,2,3,4}, N\{3,4}, N\{1,2}, N} Exercice 29.3 Soient E et F <strong>des</strong> éléments de T . Par stabilité de la tribu par passage au complémentaire, F ∈ T . Alors E ∩ F ∈ T . Et E\F = E ∩ F. Donc E\F ∈ T . Exercice 29.4 1. Ω = [1,6] 2 . Nous prendrons P(Ω). E ∩ F = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)}, E ∪ F = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1), (2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)} F ∩ G = {(1,4),(4,1)}, E ∪ F = {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)} E ∩ F ∩ G = {(1,4),(4,1)}. 2. Comme le dé est équilibré, nous munirons l’espace probabilisable (Ω, P(Ω)) de la probabilité uniforme. Et Card(Ω) = 36 E = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1),(2,3),(2,5), (3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)} alors par équiprobabilité, P(E) = 1 2 . F = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}, alors par équiprobabilité P(F) = 11 36 . G = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} et P(G) = 1 9 . P(E ∩ F) = 1 1 6 et P(F ∩ G) = 18 .
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Corrigé des exercices 1
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4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
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6 Dans tous les cas, un élément q
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8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
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10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
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12 2. f est une bijection de R \ f
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14 Exercice 5.6 1. Considérons la
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16 3. En appliquant ce qui précèd
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18 façon que n = 4a+9b. Considéro
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20 D’autre part, (1 −a n )(1
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22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
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24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
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26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
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28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
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30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
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32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
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34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
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36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
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38 Exercice 7.23 Si a est une racin
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40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
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42 Exercice 8.4 La relation bien co
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44 • Pour n = 0, la propriété d
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46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
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48 e) Chaque rangement de p boules
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50 3. Il faut ici d’abord réalis
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52 Soient f,g deux fonctions de A e
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54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
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56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
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58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
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60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
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62 Exercice 9.24 1. Par définition
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64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
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66 3. On sait que l’image par f d
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68 f est une application linéaire.
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70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
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72 2. a) Nous avons d’une part f(
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74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
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76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
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78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
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80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X
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82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
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84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
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86 4. Au rang 1, un endomorphisme n
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88 3. Avec les mêmes notations, on
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90 Exercice 12.14 1. L’image par
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92 4. On inverse la matrice de f da
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94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3
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96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
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98 En effectuant à nouveau les op
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100 2. Une équation de E −2 est
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102 3. λ est valeur propre si et s
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104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
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106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
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108 1 er cas λ = −2 On obtient a
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110 Exercice 14.8 1. On triangule l
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112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
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114 b) Avec une telle hypothèse su
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116 b) On a donc M = (a − c)PIP
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118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1
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120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
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122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
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124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
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126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
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128 En mettant en facteur √ 2, on
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130 2. On remarque que, pour tout n
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132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
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134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137:
136 On remarque que et on obtient (
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138 3. On déduit de la question 2
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140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
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142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
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144 5. En multipliant par l’expre
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146 Exercice 16.6 On note que, pour
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148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
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150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
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152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
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154 On en déduit que u n √ k = e
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156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
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158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
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160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
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162 Exercice 17.22 1. La fonction g
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164 b) La fonction f est décroissa
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166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
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168 Exercice 17.29 1. La fonction g
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170 3. On étudie (x x ) x x xx De
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172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
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174 Exercice 18.9 On compare la som
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176 On remarque que, pour tout enti
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178 On en déduit que nécessaireme
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180 3. Comme u n tend vers +∞, e
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182 4. On raisonne comme dans 3. En
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184 3. Pour n assez grand, on a nm
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186 Si g n’est pas strictement po
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188 On en déduit que lim |f(x)| =
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190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
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192 5. On obtient : 0 arctan x < a
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194 2. La réciproque est fausse. S
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196 Pour le produit, on prend le lo
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198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
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200 2. On procède comme dans la qu
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202 3. On a, pour tout réel x, f
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204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
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206 2. Soit f définie sur ] 0, π
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208 La fonction g α ′ s’annule
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210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
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212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
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214 ce qui montre que la propriét
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216 ce qui est possible car x 0 n
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218 Exercice 20.43 1. La dérivée
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220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
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222 car e it ne peut pas être éga
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224 Ceci montre que la différence
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226 4. D’après la démonstration
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228 Exercice 21.13 La fonction f s
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230 4. Supposons que f tend vers +
Page 232 and 233:
232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
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234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
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236 Comme, par positivité de l’i
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238 Si la propriété est vérifié
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240 1 est une primitive de x ↦−
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242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
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244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
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246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
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248 c) Supposons que l > 0. On a pa
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250 La fonction f est donc décrois
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252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
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254 c) Notons k le prolongement con
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256 3. On applique la formule de Ta
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258 |x| n 2. On montre comme dans l
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260 De même, f ′ est C 1 donc On
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262 3. On écrit l’inégalité de
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264 On observe que si x ∈ [0,1] e
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266 Comme lim f(x) = l, on a égale
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268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
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270 b) On obtient, pour tous réels
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272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
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274 2. En posant x = π + h, on obt
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276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
Page 280 and 281:
280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
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282 n∑ x k La fonction x ↦−
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284 On obtient en sommant des relat
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286 3. On suppose x > 0. D’après
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288 Puisque g est décroissante sur
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290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
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292 Le développement limité de x
Page 294 and 295: 294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
Page 296 and 297: 296 2. On note S n la somme partiel
Page 298 and 299: 298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
Page 300 and 301: 300 b) La suite (R n ) n∈N est à
Page 302 and 303: 302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
Page 304 and 305: 304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
Page 306 and 307: 306 On reconnaît une somme de Riem
Page 308 and 309: 308 La série de terme général v
Page 310 and 311: 310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
Page 312 and 313: 312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
Page 314 and 315: 314 On applique de nouveau le résu
Page 316 and 317: 316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
Page 318 and 319: 318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
Page 320 and 321: 320 montrent que les suites (a n )
Page 322 and 323: 322 Le point (u,v) appartient donc
Page 324 and 325: 324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
Page 326 and 327: 326 2. On montre, comme dans la que
Page 328 and 329: 328 La fonction (x,y) ↦−→ (
Page 330 and 331: 330 y, il contient c xy et on a |f
Page 332 and 333: 332 Exercice 27.13 La fonction f es
Page 334 and 335: 334 Ces dérivées partielles sont
Page 336 and 337: 336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
Page 338 and 339: 338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
Page 340 and 341: 340 Exercice 28.11 Les fonctions so
Page 342 and 343: 342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
Page 346 and 347: 346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
Page 348 and 349: 348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351: 350 2. Procèdons par récurrence s
Page 352 and 353: 352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
Page 354 and 355: 354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
Page 356 and 357: 356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359: 358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361: 360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
Page 362 and 363: 362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
Page 364 and 365: 364 Donc en faisant tendre n vers +
Page 366 and 367: 366 La série de terme général k
Page 368 and 369: 368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
Page 370 and 371: 370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
Page 372 and 373: 372 Exercice 30.19 1. Par définiti
Page 374 and 375: 374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
Page 376 and 377: 376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
Page 378 and 379: 378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381: 380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383: 382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385: 384 Exercice 30.31 1. L’événeme
Page 386 and 387: 386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389: 388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391: 390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392: 392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
Page 403 and 404:
403 Pour tout couple (i,j) d’enti
Page 405 and 406:
405 Par définition de la ⎧ covar
Page 407 and 408:
407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
Page 409 and 410:
Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
Page 411 and 412:
Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
Page 413 and 414:
413 par l’indépendance des varia
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