Corrigé des exercices - Dunod

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et donc
S =
ex
1 − x .
Exercice 25.21
1. Comme t ∈ ]0,1[, t n tend vers 0 et on a donc ln(1 + t n ) ∼
n→+∞ tn . Comme la série
géométrique ∑ t n converge, il en est de même de la série ∑ ln(1 + t n ).
n∑
On a, pour tout n 1, lnp n = ln(1 + t k ). Ainsi, la suite (lnp n ) n∈N ∗ converge vers S
k=1
somme de la série de terme général u n et la suite (t n ) n∈N ∗ converge vers e S .
2. La suite (v n ) n∈N est à termes positifs. On a donc, pour tout entier n, v n+2 −v n+1 = t n v n > 0.
De plus v 1 > v 0 donc la suite (v n ) n∈N est strictement croissante. On en déduit, pour tout
entier n,
v n+2 v n+1 (1 + t n ),
puis par une récurrence immédiate
∏ n
v n+2 v 1 (1 + t k ) 2v 1 p n .
k=0
La suite (p n ) n∈N ∗ est convergente donc majorée. Il en est de même de la la suite (v n ) n∈N
qui, étant croissante, converge.
Exercice 25.22
1. La suite (u n ) n∈N est à termes strictement positifs et, pour tout n ∈ N,
u n+1
u n
= x n+1
x n+1 + 1 1.
La suite (u n ) n∈N est décroissante et minorée par 0 ; elle converge. On note λ sa limite.
On a λ 0 et λ u 0 x 0
x 0 + 1 < 1.
2. Prenons x k = k + 1 pour tout entier k. On a alors, pour tout entier n,
u n =
et la suite (u n ) n∈N converge vers 0.
3. On a, pour tout entier n,
−lnu n = −
n∏
k=0
k=0
k + 1 (n + 1)!
=
k + 2 (n + 2)! = 1
n + 2
n∑
n
x k
ln
x k + 1 = ∑
ln
(1 + 1 )
.
x k
La suite (u n ) n∈N a pour limite 0 si et seulement si −lnu n tend vers +∞. Comme −lnu n
est la somme partielle de la série à termes positifs ∑ (
ln 1 + 1 )
, −ln u n tend vers +∞
x n
k=0