Corrigé des exercices - Dunod

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Le point (u,v) appartient donc à la boule ouverte de centre (x,y) et de rayon r. Toute boule
ouverte de centre (x,y) rencontre Q 2 . Le point (x,y) appartient donc à Q 2 . Comme c’est un
élément quelconque de R 2 , on conclut
Q 2 = R 2 .
3. Soit F un fermé tel que Ω ⊂ F. Supposons que M /∈ F. Comme le complémentaire de
F est un ouvert, on peut trouver r > 0 tel que B(M,r) soit incluse dans le complémentaire
de F. La boule B(M,r) ne rencontre pas F et a fortiori ne rencontre pas Ω. On en déduit
que M /∈ Ω. On a montré que si M n’est pas dans F, il n’est pas dans Ω. Cela montre que
Ω ⊂ F.
Il résulte des questions 1 et 3 que Ω est le plus petit (au sens de l’inclusion) fermé contenant
Ω.
Exercice 26.12
1. On raisonne comme dans la question 1 de l’exercice précédent. Si M /∈ Fr(Ω), il existe
une boule ouverte B(M,r) incluse dans Ω ou dans le complémentaire de Ω. Comme cette
boule ouverte est un ouvert, pour tout point N de B(M,r), il existe une boule ouverte de
centre N qui est incluse dans B(M,r) et a fortiori dans Ω ou son complémentaire. Ainsi
N n’appartient pas à Fr(Ω). La boule ouverte B(M,r) est incluse dans le complémentaire
Fr(Ω) qui est donc ouvert.
2. a) Comme Ω est ouvert, si M appartient à Ω, il existe une boule ouverte B(M,r) de
centre M qui est incluse dans Ω. Elle ne rencontre pas le complémentaire de Ω, donc M
n’appartient pas à Fr(Ω).
Comme l’ensemble Ω ′ = {M ∈ R 2 , d(M,A) > r} est également ouvert, on montre de même
qu’un élément de Ω ′ n’appartient pas à Fr(Ω).
Enfin si d(A,M) = r, toute boule ouverte de centre M rencontre Ω et son complémentaire.
Il suffit de considérer des points de la forme M − ε −−→ AM et M + ε −−→ AM, avec ε assez petit.
On conclut
Fr(Ω) = {M ∈ R 2 , d(M,A) = r}.
La frontière de Ω est le cercle de centre A et de rayon r.
b) On montre comme dans l’exemple précédent, qu’un élément de Ω = {M ∈ R 2 , ‖(x,y)‖ < 1}
ou de Ω ′ = {M ∈ R 2 , ‖(x,y)‖ > 1} n’appartient pas à Fr(C).
Si M ∈ C, toute boule ouverte de centre M contient M et des points du complémentaire de
C.
On conclut : Fr(C) = C.
c) On montre que Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , −1 < x < 2} est ouvert. En effet si (x,y) ∈ Ω 1 et
r = min(2 − x,x + 1), la boule ouverte de centre (x,y) et de rayon r est incluse dans Ω 1 .
Cette boule ne rencontre pas le complémentaire de Ω donc (x,y) n’appartient pas à Fr(Ω).
On montre de même que les ensembles Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , x < −1} et Ω 3 = {(x,y) ∈ R 2 , x > 2}
sont ouverts. Ainsi, si (x,y) appartient à l’un de ces ensembles, il existe une boule ouverte
de centre (x,y) qui ne rencontre pas Ω et (x,y) n’appartient pas à Fr(Ω).
Enfin si x = −1 et y ∈ R, toute boule ouverte de centre (−1,y) contient des points (u,v) tels
que u < −1 et des points tels que −1 < u < 2. Il suffit de considérer les points (−1 − ε,y)
et (−1 + ε,y) pour ε > 0 assez petit. Le point (−1,y) appartient donc à Fr(Ω). Il en est de
même de tout point (−2,y).
Conclusion : Fr(Ω) = {(x,y) ∈ R 2 , x = −1 ou x = 2}.