Corrigé des exercices - Dunod

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3. Il résulte de la question 2 que la suite (u n ) n∈N est croissante et la suite (v n ) n∈N croissante.
On a donc, pour tout n ∈ N, u 0 u n < v n v 0 . La suite (u n ) n∈N est majorée par v 0 ; elle
converge. De même, la suite (v n ) n∈N qui est minorée par u 0 converge.
De la relation v n+1 − u n+1 = (q − p)(v n − u n )
(1 + p)(1 + q) , on déduit que la suite (v n − u n ) n∈N est
q − p
géométrique de raison
∈ ]0,1[. Elle converge donc vers 0 et les deux suites
(1 + p)(1 + q)
sont adjacentes.
Exercice 15.32
1. Les deux suites sont définies et à termes strictement positifs. On montre par récurrence
que u n < v n .
C’est vrai pour n = 0 et si u n < v n alors
u n < u n+1 < v n et donc v n+1 = √ v n u n+1 > u n+1 .
La propriété est vérifiée au rang n + 1. Elle est vraie pour tout entier n.
Il résulte de la démonstration précédente que u n < v n implique u n < u n+1 et u n+1 < v n
donc v n+1 < v n . La suite (u n ) n∈N est croissante et la suite (v n ) n∈N est décroissante.
D’après ce qui précède, on a, pour tout n, u 0 < u n < v n < v 0 . Ainsi (u n ) n∈N est majorée
par v 0 et (v n ) n∈N est minorée par u 0 . Elles sont toutes deux convergentes.
Par passage à la limite dans l’égalité u n+1 = u n + v n
, on obtient
2
lim u n = 1
n→+∞ 2 ( lim u n + lim v n) et donc
n→+∞ n→+∞
Les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont donc adjacentes.
lim u n = lim v n.
n→+∞ n→+∞
2. Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, u n = v n cos α . C’est vrai pour n = 0
2n par définition de α.
Supposons que la propriété est vraie au rang n. On a alors
On en déduit que
v n+1 = √ v n u n+1 =
u n+1 = v n
1 + cos α 2 n
2
√
u 2 n+1
α
= v n cos 2 α
2 n+1 .
cos 2 = u n+1
α
et u n+1 = v n+1 cos
2
cos n+1 2 n+1
α
2 n+1 .
La propriété est vérifiée pour tout n ∈ N. Il résulte de la démonstration qu’on a alors
v n+1 = √ √
v n u n+1 = vn 2 cos 2 α
2 n+1 = v α
n cos
2 n+1 .
On en déduit que
2 n+1 v n+1 sin α
2 n+1 = 2n+1 v n sin α
2 n+1 cos α
2 n+1 = 2n v n sin α 2 n .
La suite (2 n v n sin α 2 n ) est donc constante, égale à son premier terme v 0 sin α = bsin α. On a
donc, pour tout n ∈ N,
v n = bsin α
2 n sin α 2 n .