Corrigé des exercices - Dunod

Soit k un entier supérieur ou égal à 2, P(S = k) = +∞ ∑
P(Y = k − i,X = i).
Par indépendance des variables aléatoires X et Y , P(S = k) = +∞ ∑
P(Y = k − i)P(X = i).
Or ∀k − i 0 c’est-à-dire ∀i k, P(Y = k − i) = 0.
Alors P(S = k) = k−1 ∑
P(Y = k − i)P(X = i).
i=1
Comme les variables aléatoires X et Y suivent une loi géométrique de paramètre p,
P(S = k) = k−1 ∑
p(1 − p) k−i−1 p(1 − p) i−1 .
i=1
Ainsi pour tout entier k supérieur ou égal à 2, P(S = k) = (k − 1)p 2 (1 − p) k−2 .
i=1
i=1
385
Comme X et Y admettent une espérance, S admet une espérance et E(S) = E(X)+E(Y ) = 2 p .
Comme X et Y sont des variables aléatoires indépendantes qui admettent une variance, S
admet une variance et V (S) = V (X) + V (Y ) = 2(1−p)
p 2 .
2. Avec le système complet d’événements (Z = i) i∈N ∗,
P(S Z) =
+∞∑
i=1
P(S i,Z = i).
Par indépendance des variables aléatoires S et Z, P(S Z) = +∞ ∑
P(S i)P(Z = i).
∑
Or P(S i) = i (k − 1)p 2 (1 − p) k−2 .
k=2
Donc P(S Z) = +∞ ∑
i=1 k=2
i∑
(k − 1)p 3 (1 − p) k+i−3 .
i=1
P(S Z) =
=
+∞∑
k=2
+∞∑
k=2
= p 2 (1 − p)
=
∑+∞ (k − 1)p 3 (1 − p) k−3 (1 − p) i
i=k
(k − 1)p 3 k−3 (1 − p)k
(1 − p)
p
(1 − p)
(2 − p) 2
+∞∑
k=2
(k − 1) ( (1 − p) 2) k−2