Corrigé des exercices - Dunod

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Soit ε > 0. On choisit η > 0 tel que |f(x) − f(0)| ε si 0 x η. Si on prend x ∈ [0,η],
on a alors
|F(x) − f(0)| 1 x
∫ x
0
|f(t) − f(0)|dt 1 x
∫ x
0
εdt ε.
Ceci montre que lim F(x) = f(0) = F(0), donc F est continue en 0.
x→0 +
2. Supposons f croissante sur R + .
On a, pour tout x 0, f(x) f(0). On en déduit que, pour x > 0,
F(x) = 1 x
∫ x
0
f(t)dt 1 x
∫ x
0
f(0)dt f(0) F(0).
Prenons maintenant deux réels x et y tels que 0 < x < y. On a alors
F(y) = 1 ∫ y
f(t)dt = 1 (∫ x ∫ y
)
f(t)dt + f(t)dt .
y y
0
Comme f est croissante, on obtient, par positivité de l’intégrale,
∫ y
x
On en déduit que
f(t)dt
∫ y
x
f(x)dt (y − x)f(x) et
∫ y
x
0
f(t)dt y − x
x
∫ x
et donc
F(y) 1 (
1 + y − x ) ∫ x
f(t)dt 1 y x 0 x
Donc F est croissante sur R + .
0
x
∫ x
0
f(t)dt
∫ x
0
f(t)dt xf(x).
f(t)dt F(x).
3. Supposons que f possède en +∞ une limite finie l. Soit ε > 0 et B > 0 tel que |f(x)−l| ε
si x B. Pour x B, on écrit
F(x) − l = 1 (∫ x
)
f(t)dt − lx = 1 ∫ x
(f(t) − l)dt.
x
x
On en déduit que
Comme
1
x
∫ B
0
|F(x) − l| 1 x
∫ B
0
0
|f(t) − l|dt + 1 x
∫ x
B
0
εdt 1 x
∫ B
0
|f(t) − l|dt + ε.
∫
1 B
lim |f(t) − l|dt = 0, il existe B 1 > 0 tel que l’on ait, pour x B 1 ,
x→+∞ x 0
|f(t) − l|dt ε. On a alors, pour tout x max(B,B 1 ),
|F(x) − l| 2ε.
On conclut que
lim F(x) = l.
x→+∞