Corrigé des exercices - Dunod

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2. Supposons p = 1 et donc
Pour n 1, on a
S n+1 − S n =
=
2n+2
∑
k=n+2
S n =
n∑
k=1
1
k −
1
n + k =
2n∑
k=n+1
1
2n + 1 − 1
2n + 2 > 0.
2n∑
k=n+1
1
k .
1
k = 1
2n + 1 + 1
2n + 2 − 1
n + 1
La suite (S n ) n∈N ∗ est croissante. Mais d’après ce qui précède, on a, pour tout n 1,
S n
n
n + 1 1.
La suite (S n ) n∈N ∗ est croissante et majorée donc convergente.
Exercice 15.12
On calcule le quotient
(
n
k+1
)
( n
k) =
n! k!(n − k)!
= n − k
(k + 1)!(n − k − 1)! n! k + 1 .
On a donc ( (
n
k+1)
n
) n − 1
k si n − k k + 1, c’est-à-dire k .
2
Si n est pair la suite (finie) ( ( n
et décroît ensuite.
Si n est impair, on a ( n n−1
2
du rang n + 1 .
k)
)k∈[0,n] croît jusqu’au rang n 2
) n − 1
; la suite croît jusqu’au rang
2
)
=
( n n+1
2
et décroît à partir
2
Dans tous les cas les plus petites valeurs sont obtenues pour k = 0 et n, puis k = 1 et
n − 1. . . ; ces valeurs de k correspondent aux plus grands termes de la suite (u n ) n∈N . On a
donc pour n 6,
u n ( 1
n
) + ( 1
n
2
0 n)
et
u n = ( 1
n
) + ( 1
n
) + ( 1
n
0 n 1
( n
n−1
) + 1
n−2
∑
) +
k=2
1
( n
) 2 + 2 n + (n − 3) 2
n(n − 1) .
k
Comme lim 2 + 2 2(n − 3)
+ = 2, on obtient, par encadrement lim
n→+∞ n n(n − 1) u n = 2.
n→+∞
Exercice 15.13
1. De simples études de fonctions conduisent au résultat.
La fonction x ↦−→ x − ln(1 + x) a pour dérivée x ↦−→
x
x + 1 , qui est positive sur R +. Elle
croît et s’annule en 0. Elle est positive sur R + .
De même, la fonction x ↦−→ ln(1+x) −x+ x2
2
et s’annule en 0 donc est positive sur R + .
x2
qui a pour dérivée x ↦−→ est croissante
1 + x