Corrigé des exercices - Dunod

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2. a) Si l’on note m i,j les coefficients de M, les relations de l’énoncé s’écrivent
∀p ∈ {0,...,n}, b p =
p∑
m k+1,p+1 a k
ce qui revient à la relation matricielle ( b 0 b 1 ... b n
)
=
(
a0 a 1 ... a n
)
× M.
b) On en déduit que ( ) ( )
a 0 a 1 ... a n = b0 b 1 ... b n × M −1 . Ce qui s’écrit
encore
k∑
( k
∀k ∈ {0,...,n}, a k = (−1)
p)
k−p b p
k=0
p=0
Exercice 12.16
1. On remarque dans un premier temps que si P ∈ R 3 [X] alors f(P) = P(X+1)+P(X) ∈ R 3 [X].
f est bien une application à valeurs dans E.
Montrons que f est linéaire. Soient P,Q ∈ E et λ,µ ∈ R, on a
f(λP + µQ) = (λP + µQ)(X + 1) + (λP + µQ)(X)
Ainsi f est un endomorphisme de E.
= λP(X + 1) + µQ(X + 1) + λP(X) + µQ(X)
= λ(P(X + 1) + P(X)) + µ(Q(X + 1) + Q(X))
= λf(P) + µf(Q)
2. On calcule l’image des vecteurs de la base
f(1) = 1 + 1
= 2
f(X) = X + 1 + X
= 2X + 1
f(X 2 ) = (X + 1) 2 + X 2
= 2X 2 + 2X + 1
f(X 3 ) = (X + 1) 3 + X 3
= 2X 3 + 3X 2 + 3X + 1
On en déduit que la matrice de f dans cette base est
⎛ ⎞
2 1 1 1
⎜ 0 2 2 3
⎟
⎝ 0 0 2 3 ⎠
0 0 0 2
3. La matrice de f dans la base B est triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux
non nuls. Elle est donc inversible, et par suite f est bijective.