Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 17.22
1. La fonction g : x ↦−→ f(x) − x est dérivable sur ]0,+∞[ de dérivée g ′ : x ↦−→ 1 − x
x . On
en déduit que g est croissante sur ]0,1] et décroissante sur [1,+∞[. Comme lim g(x) = −∞,
x→0
g(1) = 1 et lim
x→+∞
g(x) = −∞, la fonction g étant continue s’annule une fois sur ]0,1[ en α
et une fois sur ]1,+∞[ en β. Elle est positive sur ]α,β[, négative sur ]0,α[ et ]β,+∞[. Les
points fixes de f sont α et β.
2. La fonction f est croissante. Comme f(α) = α et f(β) = β, les intervalles ]α,β] et [β,+∞[
sont stables par f.
Si u 0 ∈ ]α,β], tous les termes de la suite sont dans ]α,β]. La fonction g est positive sur cet
intervalle donc (u n ) n∈N est croissante. Comme elle est majorée, elle converge vers un point
fixe de f. Comme de plus, elle est croissante, sa limite est β.
De même si u 0 ∈ [β,+∞[, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle. La suite
(u n ) n∈N est décroissante. Elle converge vers β.
Si u 0 = α, la suite est constante. Elle converge vers α.
Si u 0 < α, l’existence de la suite (u n ) n∈N n’est plus assurée. Supposons qu’elle existe. Comme
g est négative sur ]0,α[, la suite est décroissante et à valeurs dans ]0,α[. Elle converge. Sa
limite n’est pas 0, sinon u n+1 tend vers −∞. Sa limite est donc un point fixe de f qui
appartient à ]0,α[ (car la suite décroît). C’est impossible. Ainsi, si u 0 < α, la suite (u n ) n∈N
n’est pas définie ; il existe donc n tel que u n 0.
Exercice 17.23
1. La fonction f est continue sur R, car lim k|x − y| = 0 donc lim f(y) = f(x). La fonction
y→x y→x
g : x ↦−→ f(x) − x est elle aussi continue.
Soit x > y. On a alors
et donc
f(x) − f(y) |f(x) − f(y)| k|x − y| < |x − y| x − y
f(x) − x < f(y) − y.
La fonction g est strictement décroissante.
Pour x 0, on écrit
f(x) − f(0) |f(x) − f(0)| kx
et donc
g(x) f(0) + (k − 1)x.
Comme lim f(0) + (k − 1)x = −∞, puisque k < 1, on en déduit que lim g(x) = −∞.
x→+∞ x→+∞
En écrivant que, pour x 0, on a
f(0) − f(x) |f(x) − f(0)| k(−x),
on montre que lim g(x) = +∞.
x→−∞
La fonction est continue et strictement monotone ; elle réalise une bijection de R sur
] lim g, lim g[= R.
+∞ −∞
On en déduit que l’équation g(x) = 0, c’est-à-dire f(x) = x possède une seule solution sur
R ; on la note α.