Corrigé des exercices - Dunod

Chapitre 30
Exercice 30.1
1. Pour que la suite (p n ) n∈N définisse une loi de probabilité, il faut et il suffit que p n 0 et
+∞∑
n=0
p n = 1.
Pour tout réel a non nul, la série de terme général an
n!
converge et +∞ ∑
Et la série de terme général
1
n!
converge et +∞ ∑
n=0
1
n! = e1 .
Donc la série de terme général p n converge et +∞ ∑ (
p n = 1 8 2e 1 + e a) .
n=0
Alors +∞ ∑
p n = 1 si et seulement si a = ln(8 − 2e).
n=0
Si a = ln(8 − 2e), alors a > 0 et p n 0.
Ainsi la suite (p n ) n∈N définit une loi de probabilité pour a = ln(8 − 2e).
2+a n
(n−1)! .
2. Pour tout entier n non nul, |np n | = 1 8
1
La série de terme général
(n−1)!
converge et +∞ ∑
n=1
La série de terme général
a n−1
(n−1)!
converge et +∞ ∑
n=1
1
(n−1)! = e.
a n−1
(n−1)! = ea .
n=0
a n
n!
= e a .
Donc la série de terme général np n converge absolument (np n 0).
Donc la variable aléatoire réelle X admet une espérance et E(X) = 1 8 (2e + aea ).
Exercice 30.2
X(Ω) = [n,2n]. Ω est l’ensemble des 2n-listes formées des n boules blanches et des n boules
noires.
Alors Card(Ω) = ( )
2n
n .
Pour tout entier k de [n,2n], (X = k) est l’événement « les n boules noires sont tirées
lors des k premiers tirages et la dernière boule noire est tirée au k ième tirage». Donc
Card(X = k) = ( )
k−1
n−1 . Donc
( k−1
)
n−1
P(X = k) = ( 2n
) .
n
X est une variable aléatoire réelle discrète finie, donc X admet une espérance.
361
E(X) =
=
=
=
2n∑
k=n
k
n
( 2n
n
)
( k−1
n−1
( 2n
n
)
2n∑
k=n
)
( k
n)
( )
n 2n + 1
( 2n
)
n + 1
n
n(2n + 1)
n + 1