Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 31.35
1. Notons Y n la variable aléatoire égale au nombre de déplacements augmentant l’abscisse
du point d’une unité au cours des n premières étapes.
Y n suit une loi binomiale de paramètre (n,p). X n = Y n − (n − Y n ) = 2Y n − n.
Pour tout entier k de [0,n], P(X n = 2k − n) = P(Y n = k) = ( n
k)
p k (1 − p) n−k .
2. Notons Z i la variable aléatoire qui vaut 1 si le ième déplacement augmente l’abscisse de 1
et −1 sinon. E(Z i ) = p −(1 −p) = 2p −1 et V (Z i ) = 1 −(2p −1) 2 = 4p(1 −p). Les variables
aléatoires Z i sont indépendantes.
∑
X n = n Z i .
i=1
Si n m,
cov(X n ,X m ) =
=
n∑
i=1 j=1
m∑
cov(Z i ,Z j )
n∑
cov(Z i ,Z i )
i=1
= 4np(1 − p)