Corrigé des exercices - Dunod

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6. On écrit (cos x) cot x2 = exp(cot x 2 ln cos x). Au voisinage de 0, on a, puisque cosx tend
vers 1,
ln cos x ∼ cos x − 1 ∼ − x2
et cot x 2 cos x2
=
2
sin x 2 ∼ 1 x 2 .
On en déduit que
cot x 2 ln cos x ∼ − 1 2
et
lim(cos x) cot x2 = e − 1 1
2 = √e .
x→0
7. Pour x > 0, on écrit
(
xln(1 + x) − (x + 1)ln x = xln 1 + 1 )
− lnx.
x
(
Comme, au voisinage de +∞, xln 1 + 1 )
∼ x 1 ∼ 1, on a
x x
xln(1 + x) − (x + 1)ln x ∼ −lnx.
8. Au voisinage de +∞, on a Ent(x) ∼ x, car la différence x − Ent(x) est bornée donc
négligeable devant x. On en déduit
Ent(x)ln
(1 + 1 )
x 2 ∼ x 1 x 2 ∼ 1 x .
9. On a
ln(x + 1)
= lnx + ln( )
1 + 1 x
= 1 + ln ( )
1 + 1 x
.
lnx lnx
lnx
Comme le quotient tend vers 0, on en déduit que
( ) ln(x + 1)
ln
∼ ln( )
1 + 1 x
∼ 1
lnx lnx xln x .
Exercice 18.4
1. Pour x > 1, on peut écrire
( (x
(x 3 + x) 1 3 − (x 3 − x) 1 3 = (x 3 3 ) 1 )
− x) 1 3
+ x
3
x 3 − 1
− x
( (x 3 ) 1 )
3
∼ x + x
x→+∞ x 3 − 1 .
− x
x 3 + x
Comme lim
x→+∞ x 3 − x = 1 et x 1 3 − 1 ∼
On en déduit
( x 3 + x
x 3 − x
x→1
1
(x − 1), on obtient
3
) 1
3
− 1 ∼ 1 ( x 3 )
+ x
3 x 3 − x − 1 ∼
(x 3 + x) 1 3 − (x 3 − x) 1 3 ∼ x
2
3x 2 ∼ 2
3x .
2x
3(x 3 + x) ∼ 2
3x 2 .