Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 24.6
1. On écrit des développements limités à l’ordre 4 :
sin(ln(1 + x)) = sin
(x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 )
4 x4 + o(x 4 )
= x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 − 1 6
(
x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 ) 3
+ o(x 4 )
= x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 − 1 6 x3 + 1 6 · 3
2 x4 + o(x 4 )
= x − 1 2 x2 + 1 6 x3 + o(x 4 ),
(
ln(1 + sinx) = ln 1 + x − 1 )
6 x3 + o(x 4 )
=
(x − 1 )
6 x3 − 1 (
x − 1 ) 2
2 6 x3 + 1 3 x3 − 1 4 x4 + o(x 4 )
On en déduit que
soit encore
= x − 1 6 x3 − 1 2 x2 + 1 6 x4 + 1 3 x3 − 1 4 x4 + o(x 4 )
= x − 1 2 x2 + 1 6 x3 − 1
12 x4 + o(x 4 ).
sin( ln(1 + x)) − ln(1 + sinx) = 1
12 x4 + o(x 4 )
1
sin(ln(1 + x)) − ln(1 + sinx) ∼
x→0 12 x4 .
2. On écrit des développements limités à l’ordre 7.
Comme arctan x = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 − 1 7 x7 + o(x 7 ), on obtient
(x 3 − x 5 + 1 3 x7 + 3 5 x7 )
et
sin(arctan x) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 − 1 7 x7 − 1 6
+ 1
120
(x 5 − 5 3 x7 )
− 1
5040 x7 + o(x 7 )
= x − 1 2 x3 + 3 8 x5 − 5
16 x7 + o(x 7 )
arctan(sinx) = x − 1 6 x3 + 1
120 x5 − 1
+ 1 5
5040 x7 − 1 3
(x 5 − 5 )
6 x7 − 1 7 x7 + o(x 7 )
(
x 3 − 1 2 x5 + 1 12 x7 + 1
40 x7 )
= x − 1 2 x3 + 3 8 x5 − 83
240 x7 + o(x 7 ).