Corrigé des exercices - Dunod

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2. Calculons : X ∩ Y ∩ ( (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) ) = (X ∩ Y ∩ X ∩ Z) ∪ (X ∩ Y ∩ Y ∩ Z)
= (X ∩ Y ∩ Z) ∪ (X ∩ Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ (Z ∪ Z) = (X ∩ Y ).
La conclusion en résulte, par application de la première question.
3. (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Z) ∪ (X ∩ Z) ∪ (Z ∩ Y ) ∪ (Z ∩ Z).
Compte tenu de (Z ∩ Z) = ∅, et de la première question, on en déduit :
4. D’après la question précédente, on a :
(X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Z) ∪ (Z ∩ Y ).
(Z ∪ X) ∩ (X ∪ Y ) ∩ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∩ [(X ∩ Z) ∪ (Z ∩ Y )]
= [(X ∪ Z) ∩ X ∩ Z] ∪ [(X ∪ Z) ∩ Y ∩ Z]
= (X ∩ X ∩ Z) ∪ (Z ∩ X ∩ Z) ∪ (X ∩ Y ∩ Z) ∪ (Z ∩ Y ∩ Z)
= (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) ∪ (X ∩ Y ∩ Z)
= (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z).
D’autre part, on a : (Z∪X)∩(Y ∪Z) = [(Z∪X)∩Y ]∪[(Z∪X)∩Z] = (Z∩Y )∪(X∩Y )∪(Z∩Z)∪(X∩Z)
Soit : (Z ∪ X) ∩ (Y ∪ Z) = (Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Calculons alors (X ∩ Y ) ∩ [(Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)] = (X ∩ Y ∩ Z) ∪ (X ∩ Y ∩ Z) = (X ∩ Y ), ce
qui prouve que (X ∩ Y ) ⊂ (Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
Il en résulte que (Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) = (Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z),
et donc que : (Z ∪ X) ∩ (Y ∪ Z) = (Z ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) = (Z ∪ X) ∩ (X ∪ Y ) ∩ (Y ∪ Z)
Exercice 4.11
1. A = A ∩ A = A ∪ A = A|A
2. (A|A)|(B|B) = A ∪ B = A ∩ B
3. (A|B)|(A|B) = A|B = A∪B; A\B = A∩B = (A|A)|(B|B) = (A|A)|((B|B)|(B|B));
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) = ((A \ B)|(B \ A))|((A \ B)|(B \ A)) =
((A|A)|((B|B)|(B|B)))|((B|B)|((A|A)|(A|A)))|((A|A)|((B|B)|(B|B)))|((B|B)|((A|A)|(A|A)))
Exercice 4.12
1. f(A) =]1,+∞[; −1
f (B) =] − ∞, −1[∪]1,+∞[.
2. f(A) =]0,+∞[; −1
f (B) = ∅.
3. f(A) = { 1 n 2 ;n ∈ N∗ }; −1
f (B) =] − ∞, −1[∪]1,+∞[.
Exercice 4.13
1. f(A) = [2,+∞[;
−1
f (B) = {ρ(cos θ + isin θ),ρ ∈ [0,1],θ ∈ R}.