Corrigé des exercices - Dunod

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n−1
∑
2. Si ω p = 1, alors ω kp = n.
k=0
n−1
n−1
∑ ∑
Sinon, ω kp = (ω p ) k = 1 − (ωp ) n
1 − ω p = 0
k=0
k=0
n−1
∑
3. Si ω = 1, alors on aurait (k + 1)ω k =
k=0
n−1
(n − 1)n
.
2
∑
n−1
∑
Ici, on calcule (1 − ω) (k + 1)ω k = (k + 1)ω k − nω n = −n On obtient donc
n−1
∑
(k + 1)ω k = −n
1 − ω
k=0
k=0
4. Soit S la somme à chercher.
k=0
La formule du binôme permet d’obtenir : S =
n∑
(2 + ω k ) n =
k=1
En intervertissant les sommations, on obtient : S =
question b) ci-dessus), pour l = 0 ou l = n, on a
obtient
n∑
k=1
Exercice 6.20
(
n∑ ∑ n ( )
n
l)ω kl 2 n−l
k=1 l=0
n∑
( ( n
)
n ∑
2
l)
n−l ω kl . Alors (voir
l=0
k=1
n∑
ω kl = n et dans tous les autres cas, on
k=1
ω kl = 0. En reportant les résultats, on obtient : S = ( n
0)
n +
( n
n)
n2 n = n(1 + 2 n )
On calcule sous la forme α(1 + α4 )(1 + α 6 ) + α 2 (1 + α 2 )(1 + α 6 ) + α 3 (1 + α 2 )(1 + α 4 )
(1 + α 2 )(1 + α 4 )(1 + α 6 .
)
On obtient α + α2 + α 3 + α 4 + 2α 5 + 2α 7 + α 8 + α 9 + α 10 + α 11
1 + α 2 + α 4 + 2α 6 + α 8 + α 10 + α 12 .
En utilisant les propriétés des racines 7ièmes de l’unité (ω 7 = 1 et 1+α+α 2 +α 3 +α 4 +α 5 +α 6 = 0),
on transforme sous la forme −2α6
α
, et l’on obtient le résultat :
6
Exercice 6.21
α
1 + α 2 + α2
1 + α 4 + α3
1 + α 6 = −2
n−1
∏
1. Le polynôme (z − 1) (z − ω k ) est un polynôme de degré n, dont les racines sont les
k=1
n−1
∏
racines nièmes de l’unité. C’est donc le polynôme z n −1. On a donc : (z −ω k ) = zn − 1
z − 1 .
k=1
Dans cette dernière expression, on reconnaît la somme des n premiers termes de la suite
n−1
∏
n−1
∑
géométrique de premier terme 1 et de raison z.On conclut donc : (z − ω k ) = z s .
k=1
s=0