Corrigé des exercices - Dunod

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2. a) D’après la première question, la suite d’entiers naturels (dim(G n )) est décroissante. Elle
est donc stationnaire au-delà d’un certain rang k. Pour i k, on a donc dim(G i ) = dim(G n+1 )
et G n+1 ⊂ G n . On en déduit que G i = G i+1 .
b) Soit i k, en appliquant le théorème du rang à f i et f i+1 on trouve
dim(E) = dim(F i ) + dim(G i )
dim(E) = dim(F i+1 ) + dim(G i+1 )
On a donc dim(F i+1 ) + dim(G i+1 ) = dim(F i ) + dim(G i ), et comme dim(G i+1 ) = dim(G i ),
on en déduit que dim(F i ) = dim(F i+1 ). Sachant que F i ⊂ F i+1 , on obtient finalement
F i = F i+1 .
3. D’après le théorème du rang, on sait déjà que dim(F k ) + dim(G k ) = dim(E).
Soit y ∈ F k ∩ G k . Par définition il existe un élément x ∈ E tel que y = f k (x). De plus on
sait que f k (y) = 0, c’est-à-dire que f k (f k (x)) = 0, soit f 2k (x) = 0. Autrement dit x ∈ F 2k ,
or F 2k = F k donc f k (x) = 0, soit y = 0. On en déduit que F k ∩ G k = {0}.
Les deux propriétés nous permettent de conclure que F k et G k sont supplémentaires.
4. On a f(G k ) = G k+1 = G k , donc f induit un endomorphisme de G k qui de plus est
surjectif. G k étant de dimension finie, f induit un automorphisme de G k .
Exercice 11.10
1. Montrons que u est surjective. Soit x ∈ E, ( par hypothèse il existe des scalaires a 1 ,...,a n
n∑
n−1
)
tels que x = a k u k (x 0 ). On a alors x = u a k+1 u k (x 0 ) et donc x ∈ Im(u). u est un
k=1
endomorphisme surjectif de E espace de dimension finie, c’est donc un automorphisme.
2. On en déduit que la famille (x 0 ,u(x 0 ),...,u n−1 (x 0 )) est l’image par u −1 de la famille
(u(x 0 ),u 2 (x 0 ),...,u n (x 0 )). L’image d’une base par un automorphisme étant une base, la
famille (x 0 ,u(x 0 ),...,u n−1 (x 0 )) est une base de E.
3. Soit a 0 ,a 1 ,...,a n−1 les scalaires tels que
∑
k=0
n−1
∑
u n (x 0 ) = a k u k (x 0 )
k=0
Soit i ∈ [0,n − 1], en composant cette égalité par u i on obtient
soit
n−1
∑
u n+i (x 0 ) = a k u k+i (x 0 )
k=0
n−1
∑
u n (u i (x 0 )) = a k u k (u i (x 0 ))
k=0
Autrement dit les deux applications linéaires u n et
(x 0 ,u(x 0 ),...,u n−1 (x 0 )). Elles sont donc égales.
n−1
∑
a k u k sont égales sur la base
k=0