Corrigé des exercices - Dunod

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On en déduit que
I(x) = − 1 2 xcos(ln x) + 1 2 xsin(ln x) + 1 2 et J(x) = 1 2 xcos(ln x) + 1 2 xsin(lnx) − 1 2 .
Exercice 22.6
1. On fait le changement de variable t = tan u. On obtient
∫ 1
0
∫ π
1
(1 + t 2 ) 2 dt = 4
=
0
∫ π
4
0
1
(1 + tan 2 u) (1 + 2 tan2 u)du =
[
1 + cos2u u sin 2u
du = +
2 2 4
2. On fait le changement de variable u = sin t. On obtient
∫ π
2
0
cos 3 tsin 2 t =
0
∫ π
2
0
cos 2 tsin 2 tcos tdt =
∫ 1
0
] π
4
0
∫ π
4
0
cos 2 udu
= π 8 + 1 4 .
(1 − u 2 )u 2 du = 1 3 − 1 5 = 2
15 .
3. Avec le changement de variable t = asin u, on obtient
∫ √ a ∫ π
1 − t2
a 2 dt = 2 √
∫ π
1 − sin 2 2
u (acos u)du = a cos 2 udu = a π
0
0
4 .
Exercice 22.7
1. La fonction x ↦−→ x+ √ 1 + x 2 est strictement positive sur R donc f : x ↦−→ ln(x+ √ 1 + x 2 )
est définie et dérivable sur R et
x
1 + √
f ′ 1 + x
2
(x) =
x + √ 1 + x = 1
√ .
2 1 + x
2
1
Pour tout réel x, √
x2 + a = 1
√
2
a 1 + ( )
. Une primitive de cette fonction sur R est F
x 2
a
définie par
( √ )
x
F(x) = ln
a + 1 + x2
a 2 = ln(x + √ a 2 + x 2 ) − lna.
2. Pour x > 0, on a
1
1
x √ 1 + x = √ x2 .
2 1
x
+ 1 2
On reconnaît la dérivée d’une fonction composée. En utilisant la question 1., on trouve que
G définie par
( √ )
1
G(x) = −ln
x + 1 + 1 x 2 = −ln 1 + √ 1 + x 2 x
= ln
x 1 + √ 1 + x 2