Corrigé des exercices - Dunod

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De même
(0,1) = a(1, −1)+b(2, −3) ⇔
et donc
{ a + 2b = 0
−a − 3b = 1 ⇔ { a + 2b = 0
b = −1 ⇔ { a = 2
b = −1
f(0,1) = f(2(1, −1)−(2, −3)) = 2f(1, −1)−f(2, −3) = 2(−1, −2,5)−(0,5,4) = (−2, −9,6)
Ceci permet d’écrire que
⎛
A = ⎝
−3 −2
−11 −9
11 6
⎞
⎠
Exercice 12.6
1. a) Montrons que la famille E ′ est libre. Soient a,b,c trois scalaires, on a
ae ′ 1+be ′ 2+ce ′ 3 = 0 ⇔ a(e 2 +e 3 )+b(e 1 +e 3 )+c(e 1 +e 2 ) = 0 ⇔ (b+c)e 1 +(a+c)e 2 +(a+b)e 3 = 0
⎧
⎧
⎨ b + c = 0 ⎨ b = −c
⇔ a + c = 0 ⇔ a = −c ⇔ a = b = c = 0
⎩
⎩
a + b = 0 a = −b
Cette famille est donc une famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, c’est
une base.
b) On calcule les images des vecteurs de la base E ′
f(e ′ 1) = f(e 2 ) + f(e 2 ) = −f 1 + 2f 2 + f 1 − 3f 2 = −f 2
f(e ′ 2) = f(e 1 ) + f(e 3 ) = 2f 1 + 3f 2 + f 1 − 3f 2 = 3f 1
f(e ′ 3) = f(e 1 ) + f(e 2 ) = 2f 1 + 3f 2 − f 1 + 2f 2 = f 1 + 5f 2
D’où
M E ′ ,F(f) =
( 0 3 1
−1 0 5
)
2. a) Montrons que F ′ est libre. Soient a,b deux scalaires, on a
af 1 ′ + bf 2 ′ = 0 ⇔ a(2f 1 + f 2 ) + b(5f 1 + 3f 2 ) = 0 ⇔ (2a + 5b)f 1 + (a + 3b)f 2 = 0
{ {
2a + 5b = 0 2a + 5b = 0
⇔
a + 3b = 0 ⇔ b = 0 ⇔ a = b = 0
La famille F ′ est donc une famille libre de deux vecteurs d’un espace de dimension 2, c’est
une base.
b) Exprimons dans un premier temps les vecteurs f 1 ,f 2 en fonction de f 1,f ′ 2.
′
{ { 2f1 + f 2 = f 1
′ 2f1 + f
5f 1 + 3f 2 = f 2
′ ⇔ 2 = f 1
′
f 2 = −5f 1 ′ + 2f 2 ′ L 2 ← 2L 2 − 5L 1
⇔
{
f1 = 3f ′ 1 − f ′ 2
f 2 = −5f ′ 1 + 2f ′ 2
L 1 ← 1 2 (L 1 − L 2 )