Corrigé des exercices - Dunod

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b) La suite (R n ) n∈N est à termes positifs. Il résulte de la question précédente que, pour tout
n 1,
n∑ n∑
ku k R k .
k=1
Si la série ∑ R n converge, ses sommes partielles sont majorées et d’après cette inégalité, les
sommes partielles de ∑ nu n sont majorées aussi. Comme cette série est à termes positifs,
cela suffit pour conclure que ∑ nu n converge.
2. a) On suppose que la série ∑ nu n converge. On compare (n + 1)R n à son reste d’ordre
n. On a pour tout entier n,
Comme
lim
+∞∑
n→+∞
k=n+1
encadrement que
0 (n + 1)R n
∞∑
k=n+1
k=0
(n + 1)u k
+∞∑
k=n+1
ku k .
ku k = 0, car c’est le reste d’une série convergente, on en déduit par
lim (n + 1)R n = 0.
n→+∞
b) On a démontré dans 1.b que la convergence de ∑ R n implique celle de ∑ nu n .
Réciproquement si ∑ nu n converge, on vient de montrer que la suite ((n + 1)R n ) n∈N
converge vers 0. On obtient alors, par l’égalité démontrée dans la question 1.a
(
n∑
n
)
∑
+∞∑
+∞∑
lim R k = lim ku k + (n + 1)R n = ku k + 0 = ku k .
n→+∞ n→+∞
k=0
k=1
Les sommes partielles de la série ∑ R n ont une limite finie, donc la série converge et les
séries ∑ nu n et ∑ R n ont même somme.
3. a) La série ∑ u n (x) converge pour x > 1.
b) La série ∑ R n (x) converge si et seulement si ∑ nu n (x) converge. Comme nu n (x) = u n (x−1),
elle converge si et seulement si x − 1 > 1 soit x > 2. On a alors
+∞∑
n=0
R n (x) =
+∞∑
n=1
k=1
nu n (x) = ζ(x − 1).
k=1
Exercice 25.8
1. On simplifie l’expression de u n+1
u n
. On trouve
u n+1
= (n + 1)n+1 e −n−1√ ( ) n+ 1
n + 1n! n + 1
u n n n e −n√ = e −1 2
.
n(n + 1)!
n