Corrigé des exercices - Dunod

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De même, f ′ est C 1 donc
On en déduit que
Ainsi,
f ′ (x) = f ′ (a) + (x − a)f ′′ (a) + o(x − a),
(x − a)f ′ (x) = (x − a)f ′ (a) + (x − a) 2 f ′′ (a) + o((x − a) 2 ).
f ′ (x)(x − a) − f(x) + f(a) =
(x − a)2
f ′′ (a) + o((x − a) 2 ).
2
f ′ (x)(x − a) − f(x) + f(a)
lim
x→a (x − a) 2 = 1 2 f ′′ (a).
La restriction de g ′ à R \ {a} possède une limite finie en a. Comme de plus g est continue
sur R, g est dérivable en a et g ′ (a) = 1 2 f ′′ (a). Elle est de classe C 1 sur R.
Exercice 23.8
1. On applique la formule de Taylor-lagrange à l’ordre 1 entre a + b
2
et b. On note que a − a + b = a − b et b − a + b = b − a
2 2 2 2 . Il existe c 1 ∈
c 2 ∈
] a + b
2 ,b [
tels que
( a + b
f(a) = f
2
( a + b
f(b) = f
2
En additionnant, on obtient
f(a) + f(b)
2
)
+
)
+
( a − b
2
( b − a
2
( ) a + b
= f +
2
) ( a + b
f ′ 2
)
f ′ ( a + b
2
)
+ 1 2
)
+ 1 2
( ) 2 a − b
f ′′ (c 1 )
2
( ) 2 b − a
f ′′ (c 2 ).
(b − a)2
(f ′′ (c 1 ) + f ′′ (c 2 )).
16
2
et a, puis entre a + b
] 2
a, a + b [
et
2
La fonction f ′′ est continue sur [a,b] dont vérifie la théorème des valeurs intermédiaires.
L’intervalle f ′′ (]a,b[) qui contient f ′′ (c 1 ) et f ′′ (c 2 ) contient aussi f ′′ (c 1 ) + f ′′ (c 2 )
qui s’écrit
2
f ′′ (c) avec c ∈ ]a,b[. On obtient donc
( )
f(a) + f(b) a + b (b − a)2
= f + f ′′ (c).
2 2 8
2. Cette ] fois, on peut appliquer la formule de Taylor-lagrange à l’ordre 2. Il existe
d 1 ∈ a, a + b [ ] [ a + b
et d 2 ∈
2
2 ,b tels que
( ) ( ) ( )
a + b a − b a + b
f(a) = f + f ′ + 1 ( ) 2 ( )
a − b a + b
f ′′ + 1 ( ) 3 a − b
f (3) (d 1 )
2 2 2 2 2 2 6 2
( ) ( ) ( )
a + b b − a a + b
f(b) = f + f ′ + 1 ( ) 2 ( )
b − a a + b
f ′′ + 1 ( ) 3 b − a
f (3) (d 2 ).
2 2 2 2 2 2 6 2