Corrigé des exercices - Dunod

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2. f est une bijection de R \
f −1 (x) = −4x − 1
3 + 5x .
{
− 4 }
5
sur R \
{
− 3 }
, et sa bijection réciproque est :
5
3. f est une bijection de R\{1} sur R\{−1}, et sa bijection réciproque est : f −1 (x) = x
x + 1 .
4. Soient A et B deux sous ensembles d’un ensemble E. Alors :
1l A
= 1−1l A ; 1l A∩B = 1l A 1l B ;
1l A∪B = 1l A +1l B −1l A 1l B
Exercice 4.25
1. a) On sait que A \ B = A ∩ B.
En utilisant les résultats du cours, on obtient : 1l A\B = 1l A∩B
= 1l A (1−1l B )= 1l A −1l A 1l B .
b) On a A∆B = (A ∪B) \(A ∩B). En utilisant les résultats du cours et celui de la première
question, on obtient :
1l A∆B = ( 1l A +1l B −1l A 1l B )− (1l A +1l B − 1l A 1l B )1l A 1l B .
En remarquant que 1l A 1l A =1l A , on obtient, après calcul : 1l A∆B = 1l A +1l B −21l A 1l B
2. a) Le calcul a été fait ci-dessus
b) Calcul sans difficulté. On trouve
1l (A∆B)∆C = 1l A∆(B∆C) = 1l A +1l B +1l B −21l A 1l B −21l A 1l C −21l C 1l B +41l A 1l B 1l C
c) Calcul sans difficulté. Ne pas oublier que 1l A 1l A =1l A .
On trouve 1l (A∩(B∆C) = 1l (A∩B)∆(A∩C) =1l A 1l B +1l A 1l C −21l A 1l B 1l C .
3. a) Le calcul donne 1l A∆A = 0. Donc quel que soit A, A∆A = ∅ De même, on trouve
A∆∅ = A
b) Si 1l A∆B = 1l A +1l B −21l A 1l B =1l B , alors 1l A (1-21l B )=0. Comme (1-21l B ) n’est pas
nul, il en résulte que 1l A = 0 et par suite que A = ∅.
Chapitre 5
Exercice 5.1
1. Supposons que E contienne un élément e neutre pour la loi ∗. Ceci signifie que, quel que
soit l’élément x de E, x ∗ e = e ∗ x = x.
Supposons alors que E contienne un autre élément e ′ neutre pour la loi ∗. Ceci signifie que,
quel que soit l’élément x de E, x ∗ e ′ = e ′ ∗ x = x.
On aurait donc, en appliquant la première propriété à x = e ′ : e ′ ∗ e = e ∗ e ′ = e ′
Puis, en appliquant la deuxième propriété à x = e : e ∗ e ′ = e ′ ∗ e = e
Il en résulte clairement que e = e ′ , et que par suite, l’ensemble E ne peut pas contenir deux
éléments neutres distincts pour la loi ∗.
Exercice 5.2
1. Posons a b = c = k. On a alors a = kb et c = kd. Alors :
d
xa + yc xkb + kdc k(xb + yd)
= = = k.
xb + yd xb + yd xb + yd