Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 7.23
Si a est une racine complexe de P, alors il en sera de même de a 2 , de a 4 , et plus généralement
de a 2n pour tout entier n. Comme un polynôme n’admet qu’un nombre fini de racines, on
en conclut qu’il existe deux entiers p et q tels que a 2p = a 2q . Il en résulte que, soit a = 0,
soit |a| = 1.
D’autre part, si a est racine de P(X), comme a = (a − 1) + 1, on en déduit que (a − 1) 2 est
également racine de P(X), et donc, d’après ce qui précède, (a − 1) 2 = 0 (c’est à dire a = 1)
ou |a − 1| 2 = 1 (soit |a − 1] = 1)
Envisageons alors les quatre possibilités :
• a = 0 et a = 1 n’est pas possible.
• a = 0 et |a − 1| = 1 équivaut à a = 0, qui est une racine possible du polynôme P(X).
• |a| = 1 et a = 1 équivaut à a = 1 qui est une racine possible de P(X).
• |a| = 1 et |a − 1| = 1 équivaut, en posant a = x + iy à x 2 + y 2 = 1 et (x − 1) 2 + y 2 = 1,
c’est à dire, après résolution, à a = −j ou a = −j 2 . Mais, si j était une racine de P(X),
alors, d’après ce qui précède, (−j) 2 en serait aussi une, ce qui n’est pas vrai. Donc −j
n’est pas racine de P(X). On prouve de même que −j 2 n’est pas une racine de P(X).
En résumé, les seules racines possibles de P(X) étant 0 et 1, Il existe un réel k et deux
entiers naturels p et q tels que P(X) = kX p (X − 1) q
Réciproquement, supposons que P(X) = kX p (X − 1) q .
La condition de l’énoncé s’écrit alors : kX 2 p(X 2 − 1) q = kX p (X − 1) p × k((X + 1) q X q .
En comparant les termes de plus faible degré, on constate que k 2 = k, c’est à dire k = 0 (le
polynôme nul convient en effet) ou k = 1. On constate également que p = q, et l’on peut
conclure :
Les polynômes répondant à la condition donnée sont les polynômes de la forme X n (X −1) n ,
pour n entier naturel.
Exercice 7.24
On a : sin kπ n = ei kπ n
− e −i kπ n
2i
= e−i kπ n
2i
( )
e 2i kπ n − 1 . Donc
Avec 1 + 2 + · · · + n =
P = sin π n sin 2π n
· · · sin
(n − 1)π
n
=
n−1
∏
k=1
sin kπ n
= 1
n−1
1
∏ )
2 n−1 i n−1 e− iπ n
(e (1+2+···+(n−1)) 2i kπ n − 1
n(n − 1)
2
et 1 i = e π 2 , on a alors :
k=1
P = 1
n−1
∏ ) (e
2 n−1 eiπ(n−1) 2i kπ n − 1 = (−1)n−1
n−1
∏ ) (e 2i kπ
2 n−1 n − 1
k=1
Pour tout k de [[1,n − 1]], e 2i kπ n − 1 est racine du polynôme (X − 1) n − 1.
n−1
∏ ) (e 2i kπ n − 1 est donc le produit des racines non nulles de l’équation (X − 1) n − 1 = 0,
k=1
k=1