Corrigé des exercices - Dunod

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numéro l n’apparaît pas lors des j − i + 1 tirages du rang i + 1 au rang j − 1.
(
Donc P (Yi=k,Y j=l) Xi = 1,X j = 1 ) = nj−i−1 (n−1) i−1
(n+1)
. j−2
∑
Ainsi P(X i = 1,X j = 1) = n n∑
l=0 k=0,k≠l
Finalement P(X i = 1,X j = 1) = nj−i (n−1) i−1
(n+1) j−1 .
n j−i−1 (n−1) i−1
(n+1) j−2 1
(n+1) 2 .
Si i < j, alors X i X j suit une loi de Bernoulli de paramètre nj−i (n−1) i−1
(
Si i = j, alors la loi de X i X i est la loi de Bernoulli de paramètre
(n+1) j−1 .
i−1.
n
n+1)
(
Si i < j, alors cov(X i ,X j ) = E(X i X j ) − E(X i )E(X j ) = nj−i (n−1) i−1
(n+1)
− j−1
Donc les variables aléatoires X i et X j ne sont pas indépendantes.
4. Z N = X 1 + X 2 + · · · + X N .
Par linéarité de l’espérance, E(Z N ) = N ∑
Donc E(Z N ) = (n + 1)
(
1 −
(
n
n+1
k=1
) N
)
.
(
k−1.
n
n+1)
( N
n
5. 1 −
n+1)
= 1 − e
−N ln(1+ 1 n ) .
Or lim ln(1 + 1
n→+∞ n ) = 0. Donc 1 − e−N ln(1+ 1 n ) ∼ N ln(1 + 1
n→+∞ n ).
1
Comme lim
n→+∞ n = 0, ln(1 + 1 n ) = 1 n .
Donc 1 − e −N ln(1+ 1 n )
Ainsi E(Z N )
∼ N.
n→+∞
Exercice 31.30
)( 2
1)
1. P(A n ) =
( 3
1
N
∼
n→+∞ n .
( 5
2) = 3 5 et P(B n) =
( 3
2)
( 5
2) = 3
10 .
i+j−2.
n
n+1)
2. X suit une loi géomérique de paramètre 3 5
3
10 .
E(X) = 5 3 et E(Y ) = 10 3 .
et Y suit une loi géométrique de paramètre
3. a) Notons C n l’événement A n ∪ B n .
Si 1 i < j,
Si 1 j < i,
P(X = i,Y = j) = P(C 1 ∩ · · · ∩ C i−1 ∩ A i ∩ B i+1 ∩ · · · ∩ B j−1 ∩ B j )
= 9 ( i−1 ( ) j−i−1
1 7
50 10)
10
P(X = i,Y = j) = P(C 1 ∩ · · · ∩ C j−1 ∩ B j ∩ A j+1 ∩ · · · ∩ A i−1 ∩ A i )
( ) j−1 ( i−j−1
1 2
10 5)
= 9 50