Corrigé des exercices - Dunod

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On en déduit que
|f(x,y)| |xy3 | + |x 3 y|
6(x 2 + y 2 )
≤ 1 6 |xy| ≤ 1 6 (x2 + y 2 ).
Cela montre que f est continue en (0,0) et donc sur R 2 .
La fonction f est de classe C 1 sur l’ouvert R 2 \ {0}. On a par exemple
∂f
∂x (x,y) = (−x2 + y 2 )sin y
(x 2 + y 2 ) 2 − y cos x 2xy sin x
(x 2 + y 2 +
) (x 2 + y 2 ) 2
Les dérivées partielles en (0,0) sont nulles car les fonctions partielles en (0,0) sont nulles .
Montrons que ∂f est continue en (0,0). On utilise les inégalités précédentes et l’inégalité
∂x
|1 − cos x| x2
qui résulte aussi de l’inégalité de Taylor-Lagrange. On obtient, pour
2
(x,y) ≠ (0,0), en utilisant l’inégalité triangulaire
∣ ∂f ∣∣∣
∣∂x (x,y)
(−x 2 + y 2 )y y
∣ (x 2 + y 2 ) 2 −
(x 2 + y 2 ) + 2xy x ∣ ∣∣∣
(x 2 + y 2 ) 2
+ | − x2 + y 2 ||sin y − y| |y||cos x − 1| 2|xy||sin x − x|
(x 2 + y 2 ) 2 +
(x 2 + y 2 +
(x 2 + t 2 ) 2
(−x 2 + y 2 )y y
∣ (x 2 + y 2 ) 2 −
(x 2 + y 2 ) + 2xy x ∣ ∣∣∣
(x 2 + y 2 )
} {{ 2 }
=0
+ (y2 + x 2 )|y| 3
6(x 2 + y 2 ) 2 + x2 |y| 2|xy| |x|3
2(x 2 + y 2 +
) 6(x 2 + y 2 ) 2
|y|
6 + |y|
2 + |y|
3 ‖(x,y)‖,
ce qui montre que ∂f
∂f
est continue en (0,0). On a le même résultat pour
∂x ∂y
classe C 1 sur R 2 .
3. La fonction f est continue sur R 2 \ {(0,0)}. On a, pour (x,y) ≠ (0,0),
|xln(x 2 + y 2 | | √ x 2 + y 2 ln(x 2 + y 2 )|,
donc f est de
ce qui montre que xln(x 2 +y 2 ) tend vers 0 quand ‖(x,y)‖ tend vers 0, car lim
X→0
X lnX 2 = 0.
On en déduit que f(x,y) a pour limite e 0 = 1 quand (x,y) tend vers (0,0) et donc que f
est continue en (0,0).
La fonction f est de classe C 1 sur l’ouvert R 2 \ {(0,0)}.
Pour x ≠ 0, on a
f(x,0) − f(0,0)
= ex ln(x2) − 1
∼
x
x x→0 ln(x2 )
qui a pour limite +∞ en 0. Donc f n’a pas de dérivée partielle par rapport à x en (0,0).
La fonction y ↦−→ f(0,y) est constante, égale à 1. On en déduit que
∂f
(0,0) = 0.
∂y