Corrigé des exercices - Dunod

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( ) 1−α m − 1
Quand m tend vers +∞,
tend vers 1. On en déduit par encadrement que
m
(α − 1)R m
lim
m→+∞ m 1−α = 1 et donc que
Exercice 25.6
R m
m 1−α
∼
m→+∞ α − 1 .
1. La fonction ζ est définie sur ]1,+∞[. Soient x et y deux réels tels que 1 < x < y. On a,
1
pour tout n 1,
n x 1 N
n y et donc pour tout entier N 1, ∑ 1
n x ∑ N
1
. En faisant
ny n=1 n=1
tendre N vers +∞, on obtient ζ(x) ζ(y). La fonction ζ est décroissante.
2. La fonction ζ étant décroissante sur ]1,+∞[ possède en 1 une limite finie ou égale à +∞.
n∑ 1
Elle est finie si ζ est majorée. Pour tout x > 1 et tout entier n, on a ζ(x)
k x , car
k=1
la série est à termes positifs. Supposons que ζ soit majorée par M. On a alors, pour tout
x > 1,
n∑ 1
ζ(x) M.
kx k=1
En faisant tendre x vers 1, on obtient, pour tout n 1,
n∑
k=1
1
k M.
Les sommes partielles de la séries harmoniques sont majorées par M. C’est impossible car
cette série est à termes positifs et divergente. Donc ζ n’est pas majorée. Sa limite en 1 est
+∞.
3. a) La démonstration des inégalités est la même que dans l’exercice précédent. On en
déduit
(n + 1) 1−x − 1
n∑ 1
1 − x k x 1 + n1−x − 1
1 − x .
k=1
Quand n tend vers +∞, n 1−x tend vers 0, car x > 1. En faisant tendre n vers +∞ dans les
inégalités, on obtient
1
x − 1 ζ(x) x
x − 1 .
b) De la question précédente, on tire, pour x > 1,
On en déduit par encadrement que
1 (x − 1)ζ(x) x.
lim
x→1 +(x
− 1)ζ(x) = 1.