Corrigé des exercices - Dunod

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b) Avec une telle hypothèse sur P, on a alors
f(P) = f(X h (X − 1) k R(X))
= ma(X − 1)X h (X − 1) k R(X) − aX(X − 1)(λX h (X − 1) k R(X)) ′ (X)
= maX h (X − 1) k+1 R(X)
−aX(X − 1) ( hX h−1 (X − 1) k R(X) + kX h (X − 1) k−1 R(X) + X h (X − 1) k R ′ (X) )
= aX h (X − 1) k (m(X − 1)R(X) − h(X − 1)R(X) − kXR(X) − X(X − 1)R ′ (X))
L’équation f(P) = λP simplifiée par X h (X − 1) k s’écrit
λR(X) = a(m(X − 1)R(X) − h(X − 1)R(X) − kXR(X) − X(X − 1)R ′ (X))
En évaluant l’égalité en X = 0 et X = 1 et en simplifiant par R(0) et R(1) que l’on sait non
nuls, on obtient les équations {
λ = a(−m + h)
ce qui équivaut à
λ = −ak
{
λ = −ak
h = m − k
3. D’après le calcul précédent avec h = m − k et R = 1, on peut écrire que
f(W k ) = aX m−k (X − 1) k (m(X − 1) − (m − k)(X − 1) − kX)
= −akX m−k (X − 1) k
= −akW k
Les réels −ak pour k ∈ [0,m] sont donc des valeurs propres de f. Comme ce sont m+1 réels
distincts et que f est un endomorphisme d’un espace de dimension m + 1, ce sont toutes les
valeurs propres de f. De plus, f possédant autant de valeurs propres que la dimension de
R m [X], f est diagonalisable.
4. Comme (W 0 ,W 1 ,...,W n ) est une famille de m+1 vecteurs propres de f associés à m+1
valeurs propres distinctes, c’est une famille libre de R m [X]. Or dim(R m [X]) = m + 1, cette
famille est donc une base de R m [X].
D’après la formule du binôme de Newton on a
(X − (X − 1)) m =
m∑
i=0
( m
i
)
X m−i (X − 1) i =
Les coordonnées de 1 sur la base (W 0 ,...,W n ) sont donc
(( m
0
)
,
m∑
i=0
( m
i
)
W i
( m
1
)
,...,
( ) ( m m
,..., .
i m))
Exercice 14.11
⎛
1. On a A 2 = ⎝
1 0 1
0 2 0
1 0 1
⎞
⎠. On remarque que J = A 2 − I