Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 17.29
1. La fonction g : x ↦−→ lnx
x est dérivable sur ]0,+∞[. Sa dérivée g′ : x ↦−→ 1 − lnx
x 2 s’annule
en e. On obtient
x
g ′ (x)
g(x)
0 e +∞
+ 0 −
1
e
−∞
0
Si x est un point fixe de f, on a nécessairement x > 0 et
f(x) = x ⇐⇒ ax = lnx ⇐⇒ g(x) = a.
Il résulte de l’étude de g que : f n’a pas de point fixe si a > 1 e , a un point fixe si a = 1 ]
e ou
a 0 et a deux points fixes si a ∈ 0, 1 ]
.
e
2. a) Si a 0, la fonction f est croissante donc la suite (u n ) n∈N est monotone. Comme
u 0 = 0 et u 1 = 1 > 0, la suite est croissante.
b) Si (u n ) n∈N converge, comme f est continue sur R, sa limite est un point fixe de f. Si
a > 1 , f n’a pas de point fixe, la suite ne peut pas converger. Comme elle est croissante,
e
elle diverge vers +∞.
c) Si a ∈
[
0, 1 e
]
, on a pour tout x ∈ [0,e], 0 f(x) e ae e. L’intervalle [0,e] est stable
par f. Comme il contient u 0 , il contient tous les termes de la suite . Celle-ci est majorée par
e. Elle converge. Sa limite est l’unique point fixe de f.
3. a) La fonction f décroît et f([0,1]) = [e a ,1] ⊂ [0,1]. Comme u 0 ∈ [0,1] tous les termes
de la suite sont dans [0,1].
b) La fonction f est décroissante, f ◦f est croissante, donc les suites (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N
sont monotones de sens contraires. Elles sont bornées donc elles convergent vers un point
fixe de f ◦ f.
c) Pour tout x ∈ ]0,1[, (f ◦ f)(x) = exp(ae ax ) et
( ) lnx
(f ◦ f)(x) = x ⇐⇒ ae ax = lnx ⇐⇒ ax = ln .
a
On note que lnx
a
> 0 car ln x < 0 et a < 0.