Corrigé des exercices - Dunod

2. Si f(a) = 0, il résulte des inégalités précédentes que
c quelconque dans [0,1].
Si f(a) ≠ 0, on peut écrire
m
∫ b
a
∫ b
a
f(t)g(t)dt
M.
f(a)
255
f(t)g(t)dt = 0. On peut choisir
L’image du segment [a,b] par la fonction continue G est [m,M]. Il existe donc c ∈ [a,b] tel
que
∫ b
a
f(t)g(t)dt
= G(c) =
f(a)
∫ c
a
g(t)dt.
Chapitre 23
Exercice 23.1
1. On considère la fonction définie sur R + par f(t) = ln(1 + t). Elle est de classe C ∞ . Pour
x 0, on peut lui appliquer la formule de Taylor- Lagrange à l’ordre 2 entre 0 et x. On a
pour tout t 0,
f ′ (t) = 1
1 + t , f ′′ (t) = − 1
(1 + t) 2 , 2
f(3) (t) =
(1 + t) 3
et donc f(0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = −1. Il existe c ∈ [0,x] tel que
Comme 0 c x, on a
ln(1 + x) = x − x2
2 + x3 2
6 (1 + c) 3 .
1
(1 + x) 3 1
1 et on en déduit l’encadrement
(1 + c)
3
x − x2
2 + x 3
x2
ln(1 + x) x −
3(1 + x)
3
2 + x3
3 .
2. Pour tout réel x, on applique l’inégalité de Taylor-lagrange à l’ordre 1 à la fonction exp
entre 0 et x. Comme pour tout n ∈ N, exp (n) (0) = e 0 = 1, on obtient
|e x − 1 − x| x2
2 M,
où M est un majorant de exp sur l’intervalle [0,x] ou [x,0].
Si x 0 le maximum de exp sur [0,x] est e x = e |x| ; si x 0, la fonction exp est majorée
sur [x,0] par 1 et a fortiori par e |x| . On peut donc prendre M = e |x| , ce qui donne l’inégalité
voulue.