Corrigé des exercices - Dunod

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Ainsi, si x < 0, f ′ (x) = − 2
1 + x 2 = −2arctan′ (x) et si x > 0, f ′ (x) = 2arctan x. Il existe
donc des constantes c 1 et c 2 telles que
f(x) = −2arctan x + c 1 si x < 0 et f(x) = 2arctan x + c 2 si x > 0.
Par continuité de f en 0, on obtient, puisque f(0) = 0, c 1 = c 2 = 0.
Exercice 20.32
1. Pour la fonction f : x ↦−→ (x 2 + 3x − 1)e x , on applique la formule de Leibniz. La dérivée
troisième de g : x ↦−→ x 2 + 3x − 1 est nulle donc, pour x ∈ R et n 2,
( ( n n
f n (x) = e x g(x) + e
1)
x g ′ (x) + e
2)
x g ′′ (x)
[
]
= e x x 2 n(n − 1)
+ 3x − 1 + n(2x + 3) + · 2
2
= e x (x 2 + (2n + 3)x + n 2 + 2n − 1).
On vérifie que la formule reste exacte pour n = 0 et n = 1.
2. On a, pour tout réel x,
f ′ (x) = e x (cos x − sin x) = e x√ (
2 cos x + π )
.
4
On en déduit par une récurrence immédiate que, pour tous n ∈ N et x ∈ R,
(
f (n) = e x 2 n 2 cos x + n π )
.
4
3. La fonction f est C ∞ sur ] − ∞, −1[, ] − 1,1[ et ]1,+∞[. On a, pour tout x ∈ R \ {−1,1},
f(x) = 1 1
2 x − 1 − 1 1
2 x + 1 .
On est ramené à calculer la dérivée n-ième sur R ∗ de g : x ↦−→ 1 , car ensuite on compose
x
avec x ↦−→ x + 1 ou x ↦−→ x − 1 dont les dérivées sont égales à 1. On montre facilement par
récurrence que, pour tous n ∈ N et x ∈ R ∗ ,
g (n) (x) = (−1)n n!
x n+1 .
On en déduit que, pour tous n ∈ N et x ∈ R \ {−1,1},
f (n) (x) = (−1)n n!
2
(
)
1
(x − 1) n+1 − 1
(x + 1) n+1 .