Corrigé des exercices - Dunod

⎧
⎨
⇔
⎩
a + b + c + d = 1
b + d = 1
c + d = 1 L 3 ← − 1 2 (L 3 + L 2 )
On en déduit que l’ensemble recherché est
⎧
⎨
⇔
⎩
{
(−1 + d)X 3 + (1 − d)X 2 + (1 − d)X + d ∣ ∣ d ∈ R }
a = −1 + d
b = 1 − d
c = 1 − d
99
soit encore
{
−X 3 + X 2 + X + d(X 3 − X 2 − X + 1) ∣ ∣ d ∈ R
}
.
Exercice 13.9
On résout le système associé
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z + t = x ′
x + (1 + a)y + z + t = y ′
x + y + (1 + b)z + t = z ′
x + y + z + (1 + c)t = t ′ ⇔
⎧
x =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z + t = x ′
ay = y ′ − x ′ L 2 ← L 2 − L 1
ct = t ′ − x ′ L 4 ← L 4 − L 1
bz = z ′ − x ′ L 3 ← L 3 − L 1
(
1 + 1 a + 1 b + 1 )
x ′ − 1 c a y′ − 1 b z′ − 1 c t′
On en déduit que
⎪⎨
⇔
⎪⎩
y = −x′ + y ′
a
z = −x′ + z ′
b
t = −x′ + t ′
c
⎛
⎞
A −1 =
⎜
⎝
1 + 1 a + 1 b + 1 c
− 1 a
− 1 b
− 1 c
− 1 a
1
a
0
− 1 b
− 1 c
0 0
1
b
0 0
0
1
c
⎟
⎠
Chapitre 14
Exercice 14.1
1. λ est valeur propre si et seulement si A − λI 2 n’est pas inversible donc si et seulement si
(2 − λ)(−1 − λ) − 4 = 0. Soit λ 2 − λ − 6 = 0. Les valeurs propres sont −2,3.
Comme A possède deux valeurs propres distinctes, A est diagonalisable.