Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 13.3
1. Soit (x,y,z,t) un vecteur de K 4 , on a
⎧
⎨ 2x − y + 5t = 0
(x,y,z,t) ∈ Ker(f) ⇔ −3x + y − z − 8t = 0
⎩
x + z + 3t = 0
⎧
⎨
⇔
⎩
2x − y + 5t = 0
−y − 2z − t = 0
y + 2z + t = 0
L 2 ← 2L 2 + 3L 1
L 3 ← 2L 3 − L 1
⇔
{
2x − y + 5t = 0
y = −2z − t
⇔
{
x = −z − 3t
y = −2z − t
D’où Ker(f) = Vect((−1, −2,1,0),(−3, −1,0,1)). Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires,
ils forment une base de Ker(f).
D’après le théorème du rang, on en déduit que dim(Im(f)) = dim(K 4 )−dim(Ker(f)) = 4−2 = 2.
Or on sait que les deux vecteurs ((−1,1,0),(0, −1,1)) sont des vecteurs de Im(f). Comme
ils ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre de deux vecteurs de Im(f), espace
de dimension 2. La famille ((−1,1,0),(0, −1,1)) est donc une base de Im(f).
2. Un triplet (x,y,z) appartient à Im(f) si et seulement s’il existe deux scalaires a,b tels
que
(x,y,z) = a(−1,1,0) + b(0, −1,1)
soit encore
⎧
⎨
⎩
−a = x
a − b = y
b = z
⎧
⎨ a = −x
⇔ −b = x + y
⎩
b = z
Une équation de Im(f) est donc x + y + z = 0.
Exercice 13.4
⎧
⎨
⇔
⎩
a = −x
b = −x − y
0 = x + y + z
Posons x 1 ,x 2 ,...,x n les affixes de A 1 ,A 2 ,...,A n . Ces points répondent à la question si et
seulement si leurs affixes vérifient le système
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 + x 2 = 2z 1
x 2 + x 3 = 2z 2
x 3 + x 4 = 2z 3
.
x n−1 + x n = 2z n−1
x 1 + x n = 2z n
Ce système est quasiment triangulaire. Il reste à simplifier la dernière ligne. En effectuant
L n ← L n − L 1 , on a L n : −x 2 + x n = 2(−z 1 + z n ). L’intuition nous pousse à effectuer
n−1
∑
L n ← L n + (−1) k L k . On a alors
k=1
n−1
∑
L n : x 1 + x n + (−1) k x k + x k+1 = 2z n +
k=1
n−1
∑
(−1) k 2z k
k=1