Corrigé des exercices - Dunod

en notant r =
Exercice 8.25
p∑
i=1
r i : Γ n − r p = ( n−r+p−1
n−r−1
) (
=
n−r+p−1
)
possibilités.
1. L’énoncé est faux. Le nombre (a(n,p) est le nombre des p-uplet (x 1 ,x 2 ,x 3 , · · · ,x p ) de
N p tel que x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + px p = n Considérons un p-uplet (x 1 ,x 2 ,x 3 , · · · ,x p ) de N p
p∑
tel que x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + px p = n. Pour tout i de [[1,p]], posons alors y i = x k . On
vérifie alors aisément que y i y i+1 , et que
p
p∑
y k = n.
k=1
Réciproquement, à un tel p-uplet (y 1 ,y 2 ,y 3 , · · · ,y p ), on fait correspondre un p-uplet
p∑
(x 1 ,x 2 ,x 3 , · · · ,x p ) tel que kx k = n.
k=1
Il existe donc une bijection entre l’ensemble des p-uplets (x 1 ,x 2 ,x 3 , · · · ,x p ) de N p tels que
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + px p = n et l’ensemble des p-uplets (y 1 ,y 2 ,y 3 , · · · ,y p ) de N p tels que
{
y1 y 2 · · · y p 0
y 1 + y 2 + y 3 + · · · + y p = n
Ces deux ensembles ont donc même cardinal a(n,p).
2. Il suffit de comprendre les définitions données pour conclure que a(0,p) = 1 et a(n,1) = 1.
3. Les a(n,p) p-uplets (y 1 ,y 2 ,y 3 , · · · ,y p ) peuvent se répartir en deux ensembles disjoints
suivant que y p = 0 ou y p > 0.
• Si y p = 0, il est clair que le nombre de p-uplets (y 1 ,y 2 ,y 3 , · · · ,y p ) (satisfaisant aux conditions)
est égal au nombre des (p − 1)-uplets (y 1 ,y 2 ,y 3 , · · · ,y p−1 ) (satisfaisant aux conditions).
Il y en a donc a(n,p-1).
• Si y p > 0, on pose z i = y i − 1. On se ramène à des p-uplets (z 1 ,z 2 ,z 3 , · · · ,z p ) satisfaisant
aux conditions, mais pour n − p au lieu de n. Ils sont au nombre de a(n − p,p). D’où la
relation de récurrence demandée.
Exercice 8.26
1. Déterminons d’abord le nombre des n-uplets (p 1 ,p 2 , · · · p n ) où les p i sont des paires
d’éléments de E deux à deux disjointes. Pour déterminer un tel n-uplet, on commence
par déterminer la paire p 1 , de ( )
2n
2 façons différentes, puis on choisit la paire p2 , de
( 2n−2
)
façons différentes, et ainsi de suite. Le nombre de façons de procéder est alors de
2
n−1
∏
( ) 2n − 2i
2
k=0
= (2n)!
2
(2n)!
. Le nombre de partitions par paires est alors de , car il y a n!
n
n!2n façons d’ordonner les n paires ainsi choisies. Il y a donc n! n-uplets qui définissent la même
partition par paires.
64!
2. Simple application de ce qui précède. Il y a
32!2 3 façons de faire. Pour calculer le nombre
2
total de rencontres au cours du tournoi, il suffit de constater qu’à chaque rencontre, un joueur
est éliminé. Le vainqueur est le seul à ne pas avoir été éliminé. Pour éliminer 63 joueurs, il
faut donc (et cela suffit) 63 rencontres.
k=i
49