samlet årgang - Økonomisk Institut - Københavns Universitet

BØR VIRKSOMHEDER OPLYSES OM SANDSYNLIGHEDEN FOR KONTROL 63
Appendiks
Bevis af sætning 1
Betragt mængden af transformationer af sandsynlighedsmasse mod S – , der fører
f u (S for ) over i f m (S for ). Denne mængde kan indeholde to typer af transformationer:
(L) transformationer af sandsynlighedsmasse fra S for -værdier mindre end S – til S for -
værdier tættere på, men stadig mindre end eller lig med S – .
(R) transformationer af sandsynlighedsmasse fra S for -værdier større end S – til S for -
værdier tættere på, men stadig større end eller lig med S – .
En vilkårlig transformation af den første type (L) flytter sandsynlighedsmassen m j
fra S for -værdien S – j – < S – til S for -værdien S – j – + d j ≤ S – , hvor d j > 0. En vilkårlig transformation
af den anden type (R) flytter sandsynlighedsmassen m i fra S for -værdien
S – i + > S – til S for -værdien S – i + – d i ≥ S – , hvor d i > 0. Lad der være M type L transformationer
(j = 1…M) og N type R transformationer (i = 1…N).
Den ændring i overholdelsesandelen (∆A – ), som denne mængde af transformationer
medfører, kan da udtrykkes således:
M N
∆A – = ∑(Q(S – j – + d j ) – Q(S – j – ))m j + ∑(Q(S – i + – d i ) – Q(S – i + ))m i
j=1 i=1
Da Q´´ > 0 vil Q´(S – )d j > (Q(S – j – + d j ) – Q(S – j – )) > 0 for j = 1…M og
0 > – Q´(S – )d i > (Q(S – i + – d i ) – Q(S – i + )) for i = 1…N, hvorved vi har, at:
M N
∆A – < ∑(Q´(S – )d j )m j – ∑(Q´(S – )d i )m i
j=1 i=1
som kan omskrives til:
M N
∆A – < Q´(S – )∑ dj mj – ∑ dimi j=1 i=1
Da tæthedsfunktionerne f u (S for ) og f m (S for ) begge har middelværdien S – , må det
gælde, at: