Statistische Methoden der Datenanalyse - HEPHY

Maximum-Likelihood-Schätzer
Statistische Metoden
der Datenanalyse
R. Frühwirth
Stichprobenfunktionen
Grundbegriffe
Stichprobenmittel
Stichprobenvarianz
Stichprobenmedian
Punktschätzer
Eigenschaften von
Punktschätzern
Schätzung des
Mittelwerts
Schätzung der Varianz
Schätzung des Medians
Maximum-Likelihood-
Schätzer
Intervallschätzer
Grundbegriffe
Allgemeine Konstruktion
nach Neyman
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Exponentialverteilung
Normalverteilung
Mittelwert einer
beliebigen Verteilung
Beispiel (ML-Schätzung der Parameter einer Normalverteilung)
Es sei X 1, . . . , X n eine Stichprobe aus der Normalverteilung
No(µ, σ 2 ). Die gemeinsame Dichte lautet:
g(x 1, . . . , x n|µ, σ 2 ) =
n∏
i=1
Die Log-Likelihoodfunktion ist daher:
l(µ, σ 2 ) =
]
1 (xi − µ)2
√ exp
[−
2πσ 2 σ 2
n∑
[− ln √ 2π − 1 2 ln σ2 −
i=1
Ableiten nach µ und σ 2 ergibt:
∂l(µ, σ 2 )
∂µ
=
n∑
i=1
x i − µ
σ 2 ,
∂l(µ, σ 2 )
∂σ 2 =
i=1
]
(xi − µ)2
2 σ 2
n∑
[
− 1
]
(xi − µ)2
+
2 σ2 2 σ 4
R. Frühwirth Statistische Metodender Datenanalyse 331/587