Statistische Methoden der Datenanalyse - HEPHY

Maximum-Likelihood-Schätzer
Statistische Metoden
der Datenanalyse
R. Frühwirth
Stichprobenfunktionen
Grundbegriffe
Stichprobenmittel
Stichprobenvarianz
Stichprobenmedian
Punktschätzer
Eigenschaften von
Punktschätzern
Schätzung des
Mittelwerts
Schätzung der Varianz
Schätzung des Medians
Maximum-Likelihood-
Schätzer
Intervallschätzer
Grundbegriffe
Allgemeine Konstruktion
nach Neyman
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Exponentialverteilung
Normalverteilung
Mittelwert einer
beliebigen Verteilung
Die normierte Likelihoodfunktion kann als a-posteriori
Verteilung des geschätzten Parameters interpretiert werden.
Für großes n kann man die Varianz der Likelihoodschätzung
ˆϑ daher aus dem zweiten zentralen Moment der normierten
Likelihoodfunktion ablesen.
Ist des geschätzte Parameter ϑ das Mittel einer
Normalverteilung, so ist diese Vorgangsweise für beliebiges n
exakt:
[
1
L(ϑ) =
σ n√ 2 π n exp − n ((
2 σ ˆϑ 2 − ϑ) 2 + 1 ∑
)]
(xi −
n
ˆϑ) 2
Wird L(ϑ) normiert, so entsteht die Dichte“ einer
”
Normalverteilung mit Mittel ˆϑ und Varianz σ2
n
, also gerade
die Varianz der Schätzung ˆϑ = 1 ∑
n xi .
R. Frühwirth Statistische Metodender Datenanalyse 333/587