Medizinische Physik 3: Medizinische Laserphysik [2004]

84 R. Grimm
4.3.2 Klassisches Oszillatormodell: Absorption und Dispersion
Die eben betrachtete Suszeptibilität χ ist eine makroskopische Größe, die
die Polarisierbarkeit des Mediums beschreibt. Wir wollen χ nun in einer
einfachen mikroskopischen Theorie berechenen. Dazu bedienen wir uns nun
des sog. Lorentz-Modells und betrachten die durch das Licht angeregten
Atome als klassische Oszillatoren, bei denen ein Hüllenelektron wie mit einer
Feder elastisch an den Rumpf gebunden ist. Wenn man nun z.B. aus einer
spektroskopischen Messung eine bestimmte Resonanzlinie kennt, ergibt sich
aus deren Frequenz ω0 =2πν0 unmittelbar die zugehörige Federkonstante
κ = meω2 0,wobeimedie Masse des Elektrons bezeichnet.
Das elektrische Feld des Lichts führt zu einer erzwungenen Schwingung
des Elektrons, die durch die Differentialgleichung
¨x + Γ ˙x + ω 2 0x = − e
Êe −iωt
(4.24)
me
beschrieben wird. Die Dämpfungskonstante Γ berücksichtigt dabei, dass das
oszillierende Elektron durch Strahlung Energie verliert. Aus Larmors Lehrbuchformel
für die abgestrahlte Leistung einer beschleunigten Ladung ergibt
sich
Γ = e2ω2 0
. (4.25)
6πɛ0mec3 Mit dem Ansatz x =ˆxe−iωt erhält man in der Umgebung einer optischen
Resonanz (|ω − ω0| ≪ω0) dieLösung
ˆx = e 1
Ê ; (4.26)
meω0 ω − ω0 + iΓ/2
wir haben hier angenommen, dass eine schwache Dämpfung Γ ≪ ω0 vorliegt.
Dies ist für einen optischen Übergang immer eine sehr gute Näherung
(typisch: Γ/ω0 ∼ 10−8 ).
Mit dem so berechneten induzierten Dipolmoment −eˆx des atomaren
Oszillators und der Dichte N der Atome im Medium erhält man nun die
makroskopische Polarisation
ˆP = N · (−eˆx)
= − Ne2 1
Ê. (4.27)
meω0 ω − ω0 + iΓ/2
Aus der Definition der komplexen Suszeptibilität gemäß (4.19) ( ˆ P = ɛ0Ê) und unter Verwendung von (4.22), (4.23) und (4.25) könnenwirnundenAbsorptionskoeffizienten
und den Brechungsindex des Mediums in der folgenden
Form schreiben:
α = α0 ·
n − 1= α0
4k ·
Γ 2 /4
(ω − ω0) 2 + Γ 2 , (4.28)
/4
(ω0 − ω)Γ
(ω − ω0) 2 + Γ 2 ; (4.29)
/4