Medizinische Physik 3: Medizinische Laserphysik [2004]

64 R. Müller und T. Fernholz
Abb. 3.10. Die ersten drei Bessel-Funktionen. Nach [3]
Das Beugungsintegral lässt sich mit Hilfe der Bessel-Funktion wie folgt
schreiben:
e
E(P )=Q · ES
−ikR
R 2π
�a
� �
kρq
J0 ρdρ .
R
ρ=0
An dieser Stelle lässt sich ein nützlicher Zusammenhang der Bessel-Funktionen
ausnutzen. Die Bessel-Funktion erster Ordnung lässt sich darstellen durch
J1(u) = 1
�u
u
u
′ J0(u ′ )du ′ .
0
Mit der Substitution ω = kρq/R lässt sich das Beugungsintegral insgesamt
wie folgt schreiben:
e
E(P )=Q · ES
−ikR �
R
2π ·
R kq
� ω=
2 kaq
� R
ω=0
=2πa 2 e
· Q · ES
−ikR R
·
R kaq J1
� kaq
R
J0(ω)ωdω
�
.
Die beobachtbare Intensitätsverteilung ist wiederum durch das halbe Betragsquadrat
der elektrischen Feldstärke gegeben:
�
I(P )=2 πa 2 e
· Q · ES
−ikR
�2 �
R
·
R kaq J1
� ��2 kaq
.
R
Wie zu erwarten war, ist das Beugungsbild unabhängig von der Winkelkoordinate
und deshalb rotationssymmetrisch.
Soll die Intensität im Zentrum des Beugungsmusters bestimmt werden,
ist zu beachten, dass sowohl die Bessel-Funktion J1 als auch der Nenner der