Medizinische Physik 3: Medizinische Laserphysik [2004]

Das Beugungsintegral wird dann zu
E(P )= E0
ρ0r0λ e−ik(ρ0+r0)
��
S
e −ik
�
(y 2 +z 2 ) ρ 0 +r 0
2ρ 0 r 0
3 Beugungsoptik 69
�
dS .
Es lassen sich die Variablen u und v einführen, sodass gilt:
�
�
u = y
2(ρ0 + r0)
ρ0r0λ
und v = z
2(ρ0 + r0)
.
ρ0r0λ
Das Beugungsintegral lässt sich dann schreiben als
E0
E(P )=
2(ρ0 + r0) e−ik(ρ0+r0)
�u2
�v2
e iπu2 /2 iπv
· e 2 /2
· dvdu .
u1 v1
Wird zusätzlich noch gefordert, dass die Integrationsfläche rechteckig ist,
kann das Integral separiert werden. Die Integrationsgrenzen v1 und v2 sind
also unabhängig von u, und das Integral zerfällt in ein Produkt. Die auftretenden
Integrale werden Fresnel-Integrale genannt. Sie sind wie folgt definiert:
C (w) =
�w
0
cos πw′2
2 dw′ und S(w) =
�w
0
sin πw′2
2 dw′ .
Beachtet man noch, dass der Term vor dem Integral gerade Hälfte der ungestörten
Welle EU darstellt, erhält man
E(P )= EU
2 {C(u)+iS(u)}u2
u1 ·{C(v)+iS(v)}v2
v1 .
Die Auswertung des Integrals für alle Punkte der Beobachtungsebene ist recht
kompliziert. Allerdings ergibt sich noch eine Vereinfachung, wenn nicht der
Beobachtungspunkt sondern die Öffnung ” bewegt“ wird. Dann ändern sich
nur die Begrenzungswerte der Integrale. Das Beugungsbild wird dabei über
den Punkt P hinweggeschoben. Der Fehler, der dabei gemacht wird, ist klein,
wenn der Abstand der Lichtquelle von der Öffnung viel größer ist als die
Ausmaße der Öffnung. Das ist besonders beim Einfall einer ebenen Welle der
Fall.
3.4.1 Die Cornu-Spirale
Die aus den Fresnel-Integralen zusammengesetzte komplexe Funktion
B(w) =C(w)+i · S(w)
lässt sich in der komplexen Ebene darstellen. Der Graph der Funktion
(Abb. 3.14a) ist die Cornu-Spirale. Es ist leicht einzusehen, dass der Kur-