Medizinische Physik 3: Medizinische Laserphysik [2004]

4 Kohärente Optik 79
wobei wir uns der vorteilhaften komplexen Schreibweise für das elektrische
Feld mit der komplexen Amplitude Ê bedienen. So ergibt sich die zeitunabhängige
skalare Wellengleichung
∇ 2 Ê + k 2 Ê =0, (4.8)
die als Helmholtz-Gleichung bezeichnet wird. Die Größe k = ω/c =2π/λ ist
dabei die sog. Wellenzahl.
Zwei mögliche Lösungen von (4.8) sind in der Physik wohlbekannt: die
ebene Welle e ikr und die Kugelwelle r −1 e ikr . Beide Wellenformen sind allerdings
unendlich ausgedehnt und daher zur Beschreibung einer ” strahlartigen“
Welle ungeeignet.
Wir nehmen jetzt an, dass sich der zu beschreibende Lichtstrahl in z-
Richtung ausbreitet und dass er dabei nicht zu stark von einer ebenen Welle
abweicht. Daher machen wir durch Abseparierung eines ebenen Wellenanteils
e ikz den Ansatz
Ê(r) =ψ(r) e ikz . (4.9)
Die Größe ψ(r) beschreibt hier eine Modifikation der ebenen Welle. Mit
diesem Ansatz gehen wir in die skalare Wellengleichung (4.8). Dabei vernachlässigen
wir den Term ∂ 2 ψ/∂z 2 ,dajadieOrtsabhängigkeit im Wesentlichen
in dem Faktor e ikz enthalten sein soll, sodass ψ nur noch schwach von z
abhängt. So ergibt sich für ψ die folgende Differentialgleichung, die paraxiale
Wellengleichung genannt wird:
� 2 ∂ ∂2
+
∂x2 ∂y2 �
ψ = −2ik ∂
ψ. (4.10)
∂z
AlseinfachsteLösung findet man den Gauß-Strahl
ψ(r) =A w0
w(z) e−ρ2 /w 2 (z) · e ikρ 2 /2R(z) · e −iφ(z) , (4.11)
wobei ρ = � x2 + y2 die Entfernung von der Strahlachse angibt. Diese Lösung
lässt sich als Produkt von drei Termen anschaulich interpretieren:
(i) Der erste Term beschreibt das transversale Strahlprofil, für das man
die Form einer Gauß-Glockenkurve findet. Der z-abhängige Strahlradius (bezogen
auf die Abnahme der Feldstärke auf den e-ten Teil) ist dabei durch
�
w(z) =w0 1+(z/z0) 2 (4.12)
gegeben. Der kleinste Strahlradius w0, derbeiz = 0 auftritt, wird als Strahltaille
bezeichnet. Die Größe
z0 = πw2 0
λ
(4.13)